Calcular la matriz inversa por la adjunta

Qué es y cuándo se usa

El método de la adjunta calcula la inversa $A^{-1}$ de una matriz cuadrada con una fórmula cerrada. Es muy útil en matrices $2\times2$ y $3\times3$ y aparece mucho en los exámenes de Bachillerato y de PAU, porque además del resultado obliga a calcular el determinante y los adjuntos.

La fórmula y sus pasos

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,\bigl(\operatorname{Adj}(A)\bigr)^{t}$$

1. Calcula $|A|$. Si es $0$, no hay inversa y te detienes.
2. Calcula el adjunto de cada elemento: $A_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el determinante que queda al eliminar la fila $i$ y la columna $j$.
3. Forma la matriz de adjuntos $\operatorname{Adj}(A)=(A_{ij})$.
4. Tráspónla: $(\operatorname{Adj}(A))^t$.
5. Divide todos sus elementos entre $|A|$.

Ejemplo resuelto

Sea $A=\begin{pmatrix}2&0&1\\1&1&0\\1&3&2\end{pmatrix}$.

Determinante (desarrollo por la primera fila):

$$|A|=2\,(2-0)-0+1\,(3-1)=4+2=6\neq0.$$

Adjuntos:

$$A_{11}=+\begin{vmatrix}1&0\\3&2\end{vmatrix}=2,\quad A_{12}=-\begin{vmatrix}1&0\\1&2\end{vmatrix}=-2,\quad A_{13}=+\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2,$$ $$A_{21}=-\begin{vmatrix}0&1\\3&2\end{vmatrix}=3,\quad A_{22}=+\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3,\quad A_{23}=-\begin{vmatrix}2&0\\1&3\end{vmatrix}=-6,$$ $$A_{31}=+\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1,\quad A_{32}=-\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=1,\quad A_{33}=+\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2.$$

Adjunta y traspuesta:

$$\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix}2&-2&2\\3&3&-6\\-1&1&2\end{pmatrix},\qquad(\operatorname{Adj}(A))^t=\begin{pmatrix}2&3&-1\\-2&3&1\\2&-6&2\end{pmatrix}.$$

Inversa:

$$A^{-1}=\frac16\begin{pmatrix}2&3&-1\\-2&3&1\\2&-6&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac13&\tfrac12&-\tfrac16\\-\tfrac13&\tfrac12&\tfrac16\\ \tfrac13&-1&\tfrac13\end{pmatrix}.$$

Propiedades útiles

• $|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}$.
• $A\cdot\operatorname{Adj}(A)^t=|A|\cdot I$, que es de donde sale la fórmula.
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ y $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$.
• En $2\times2$: si $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, entonces $A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

Por qué sale esa fórmula

El desarrollo de un determinante por una fila dice que $a_{i1}A_{i1}+\dots+a_{in}A_{in}=|A|$. En cambio, si multiplicas los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila, el resultado es $0$. Reuniendo ambos hechos se obtiene $A\cdot(\operatorname{Adj}(A))^t=|A|\,I$, y al dividir entre $|A|$ queda la fórmula de la inversa. De ahí también que haga falta $|A|\neq0$.

Consejos prácticos

• En una matriz $3\times3$ calcula primero el determinante: si da $0$ te ahorras los nueve adjuntos.
• Calcula los adjuntos por filas y colócalos en su sitio enseguida para no perder el orden.
• Para comprobar el resultado, multiplica $A\cdot A^{-1}$ y verifica que sale la identidad.
• Si $|A|=\pm1$ y los elementos son enteros, la inversa también tendrá elementos enteros.

Cuándo elegir este método

La adjunta es la opción natural en matrices $2\times2$, porque la fórmula se aplica en una línea, y en problemas que piden además el determinante o los adjuntos. También es la que te dan los enunciados cuando preguntan “para qué valores del parámetro $a$ existe la inversa”: basta imponer $|A|\neq0$. En matrices de orden $4$ o superior los adjuntos son muy laboriosos y resulta más práctico el método de Gauss-Jordan.

Errores típicos

• Olvidar trasponer la matriz de adjuntos.
• Saltarse los signos $(-1)^{i+j}$: siguen el patrón de tablero de ajedrez $\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}$.
• Dividir solo algunos elementos entre $|A|$ en lugar de todos.
• No comprobar $|A|\neq0$ antes de empezar.
• Confundir menor y adjunto: el adjunto lleva signo.

Practica: calcula la inversa por Gauss-Jordan.