Calcular un determinante por adjuntos (desarrollo por cofactores)

Qué es el desarrollo por adjuntos y cuándo usarlo

El desarrollo por adjuntos (también llamado por cofactores, o de Laplace) calcula un determinante de orden $n$ a partir de determinantes de orden $n-1$. Es el método general para matrices $4\times 4$ o mayores, donde Sarrus ya no vale, y resulta especialmente cómodo cuando alguna fila o columna tiene muchos ceros.

Dos definiciones previas. El menor complementario $M_{ij}$ es el determinante de la submatriz que queda al suprimir la fila $i$ y la columna $j$. El adjunto de $a_{ij}$ es

$$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.$$

El método paso a paso

1. Elige una fila o columna, preferiblemente la que tenga más ceros.
2. Para cada elemento no nulo $a_{ij}$ de esa línea, calcula su menor $M_{ij}$ y su signo $(-1)^{i+j}$.
3. Suma los productos elemento por adjunto. Por ejemplo, desarrollando por la fila $i$:

$$|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in}.$$

4. Si los menores siguen siendo grandes, repite el proceso con ellos (o usa Sarrus si son $3\times 3$).

Ejemplo resuelto

Calculemos

$$|A|=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}.$$

La fila 2, $(1,0,0,2)$, tiene dos ceros, así que desarrollamos por ella y solo necesitamos $A_{21}$ y $A_{24}$:

$$|A| = 1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} + 2\cdot(-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix}.$$

Por Sarrus, el primer menor vale $M_{21}=-32$ y el segundo $M_{24}=-21$. Entonces:

$$|A| = -1\cdot(-32) + 2\cdot(-21) = 32 - 42 = -10.$$

Propiedades útiles

• Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
• $F_i \to F_i - kF_j$ no cambia el determinante; sirve para crear ceros antes de desarrollar.
• Una fila o columna de ceros, o dos filas proporcionales, dan determinante $0$.
• Se puede desarrollar por cualquier fila o columna: el resultado es siempre el mismo.

Un buen truco: haz ceros con $F_i \to F_i - kF_j$ en una columna y desarrolla por ella; solo sobrevivirá un adjunto.

Errores típicos

• Olvidar el signo $(-1)^{i+j}$ o aplicarlo con la fila y columna equivocadas.
• Confundir menor y adjunto: el menor no lleva signo; el adjunto sí.
• Multiplicar por el elemento equivocado: cada adjunto de la fila $i$ se multiplica por $a_{ij}$ de esa misma fila. Multiplicarlo por elementos de otra fila da un resultado distinto (de hecho, cero).
• No aprovechar los ceros y desarrollar por una fila sin ellos, con el doble de trabajo.

Practica: calcula el mismo determinante por Gauss.