Calcular un determinante por la regla de Sarrus

Qué es la regla de Sarrus y cuándo usarla

La regla de Sarrus es un truco de cálculo para obtener el determinante $|A|$ de una matriz cuadrada de orden 2 o 3 sin desarrollar nada: basta sumar y restar unos pocos productos. Es el método más rápido a mano para matrices $3\times 3$, pero no se puede extender a órdenes mayores. Para eso están los adjuntos y el método de Gauss.

Para una matriz $2\times 2$ la regla es sencilla:

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$$

El método paso a paso (3×3)

Dada $A=(a_{ij})$ de orden 3:

1. Calcula los tres productos de la diagonal principal y sus paralelas: $a_{11}a_{22}a_{33}$, $a_{12}a_{23}a_{31}$ y $a_{13}a_{21}a_{32}$. Se suman.
2. Calcula los tres productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: $a_{13}a_{22}a_{31}$, $a_{11}a_{23}a_{32}$ y $a_{12}a_{21}a_{33}$. Se restan.
3. El determinante es (suma de los primeros) menos (suma de los segundos).

Una forma habitual de recordarlo es repetir debajo de la matriz sus dos primeras filas y trazar las diagonales sobre el esquema ampliado.

Ejemplo resuelto

Calculemos

$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix}.$$

Productos con signo $+$:

• $1\cdot 0\cdot 4 = 0$
• $2\cdot 2\cdot(-2) = -8$
• $(-1)\cdot 3\cdot 1 = -3$

Su suma es $0-8-3=-11$.

Productos con signo $-$:

• $(-1)\cdot 0\cdot(-2) = 0$
• $1\cdot 2\cdot 1 = 2$
• $2\cdot 3\cdot 4 = 24$

Su suma es $0+2+24=26$. Por tanto:

$$|A| = -11 - 26 = -37.$$

Como $|A|\neq 0$, la matriz es invertible y sus filas son linealmente independientes.

Propiedades útiles

• Si intercambias dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.
• La operación $F_i \to F_i - kF_j$ no modifica el determinante.
• Si una fila (o columna) es toda de ceros, el determinante vale $0$.
• Si dos filas son iguales o proporcionales, el determinante vale $0$.
• Multiplicar una fila por $k$ multiplica el determinante por $k$, y $|A|=|A^t|$.

Estas propiedades sirven para comprobar el resultado: si ves dos filas proporcionales, no hace falta calcular, el determinante es cero.

Errores típicos

• Aplicarla a una matriz $4\times 4$. No funciona: el esquema de seis productos es exclusivo de $3\times 3$.
• Olvidar el signo de un producto, sobre todo cuando hay números negativos: escribe cada producto entre paréntesis antes de operar.
• Restar mal el bloque negativo: se resta la suma de los tres productos, no cada uno por separado sin cuidado.
• Mezclar las diagonales: los tres productos con $+$ y los tres con $-$ son distintos; comprueba que usas cada elemento exactamente una vez por producto.

Practica: calcula el mismo determinante por Gauss.