Calcular la matriz traspuesta

Qué es la traspuesta

La traspuesta de una matriz $A$, que se escribe $A^t$ (también $A^T$), se obtiene cambiando filas por columnas: la primera fila de $A$ pasa a ser la primera columna de $A^t$, la segunda fila la segunda columna, y así sucesivamente. Se usa en la fórmula de la inversa con la adjunta, en matrices simétricas y en el producto escalar de vectores.

Cómo se calcula

1. Toma la fila $i$ de $A$.
2. Escríbela como columna $i$ de $A^t$.
3. Repite con todas las filas. Si $A$ es $m\times n$, $A^t$ es $n\times m$.

Ejemplo resuelto

$$A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&5\\3&4\end{pmatrix}_{3\times2}\quad\Longrightarrow\quad A^t=\begin{pmatrix}1&0&3\\-2&5&4\end{pmatrix}_{2\times3}.$$

Propiedades

• $(A^t)^t=A$.
• $(A+B)^t=A^t+B^t$ y $(kA)^t=kA^t$.
• $(AB)^t=B^tA^t$: se invierte el orden.
• $|A^t|=|A|$ y $\operatorname{rg}(A^t)=\operatorname{rg}(A)$.
• $(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}$.
• $A$ es simétrica si $A^t=A$ y antisimétrica si $A^t=-A$.

Dónde aparece la traspuesta

La traspuesta interviene en la fórmula $A^{-1}=\frac1{|A|}(\operatorname{Adj}(A))^t$ y en la definición de matriz simétrica o antisimétrica. También permite escribir el producto escalar de dos vectores columna $u$ y $v$ como el producto $u^tv$. Como $|A^t|=|A|$, cualquier propiedad de los determinantes que valga por filas vale también por columnas.

Un ejemplo con matrices simétricas

La matriz $S=\begin{pmatrix}1&4\\4&7\end{pmatrix}$ es simétrica, porque su traspuesta coincide con ella. En cambio $K=\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$ cumple $K^t=-K$, así que es antisimétrica; fíjate en que su diagonal es siempre de ceros. Y para cualquier matriz cuadrada $A$, la suma $A+A^t$ es simétrica, lo que da una forma cómoda de fabricar ejemplos.

Errores típicos

• No invertir el orden en $(AB)^t$.
• Olvidar que cambian las dimensiones en matrices no cuadradas.
• Confundir la traspuesta con la inversa: son matrices distintas, salvo en las matrices ortogonales.

Practica: calcula la inversa con la adjunta.