Saltar al contenido
El bit perdido
Newsletter

Resolver sistemas por la regla de Cramer

Calculadora de la regla de Cramer paso a paso: determinante del sistema, determinantes de cada incógnita y solución, con fracciones exactas.

Puedes escribir 2x, -y/2, 3(x - 1) o fracciones como 1/3. También puedes separar las ecuaciones con comas.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

3×3

x=1,y=−2,z=3x = 1, \quad y = -2, \quad z = 3

  1. 1Determinante de la matriz de coeficientes

    La regla de Cramer solo se puede usar si el determinante de la matriz de coeficientes no es cero. Como ∣A∣=7≠0|A| = 7 \neq 0, el rango de AA es 3, igual que el de A∗A^* y que el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y podemos aplicar Cramer.

    ∣A∣=∣1112−1112−1∣=(1+1+4)−(−1+2−2)=7|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right| = (1 + 1 + 4) - (-1 + 2 - 2) = 7

  2. 2Valor de xx

    Sustituimos la columna 1 (la de xx) por los términos independientes, calculamos ese determinante y lo dividimos entre ∣A∣|A|.

    ∣Ax∣=∣2117−11−62−1∣=(2−6+14)−(6+4−7)=7x=∣2117−11−62−1∣∣A∣=77=1\begin{array}{l} |A_{x}| = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 7 & -1 & 1 \\ -6 & 2 & -1 \end{array}\right| = (2 - 6 + 14) - (6 + 4 - 7) = 7 \\[6pt] x = \dfrac{\left|\begin{array}{ccc} \htmlClass{az}{2} & 1 & 1 \\ \htmlClass{az}{7} & -1 & 1 \\ \htmlClass{az}{-6} & 2 & -1 \end{array}\right|}{|A|} = \dfrac{7}{7} = 1 \end{array}

  3. 3Valor de yy

    Sustituimos la columna 2 (la de yy) por los términos independientes, calculamos ese determinante y lo dividimos entre ∣A∣|A|.

    ∣Ay∣=∣1212711−6−1∣=(−7+2−12)−(7−6−4)=−14y=∣1212711−6−1∣∣A∣=−147=−2\begin{array}{l} |A_{y}| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 7 & 1 \\ 1 & -6 & -1 \end{array}\right| = (-7 + 2 - 12) - (7 - 6 - 4) = -14 \\[6pt] y = \dfrac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & \htmlClass{az}{2} & 1 \\ 2 & \htmlClass{az}{7} & 1 \\ 1 & \htmlClass{az}{-6} & -1 \end{array}\right|}{|A|} = \dfrac{-14}{7} = -2 \end{array}

  4. 4Valor de zz

    Sustituimos la columna 3 (la de zz) por los términos independientes, calculamos ese determinante y lo dividimos entre ∣A∣|A|.

    ∣Az∣=∣1122−1712−6∣=(6+7+8)−(−2+14−12)=21z=∣1122−1712−6∣∣A∣=217=3\begin{array}{l} |A_{z}| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 7 \\ 1 & 2 & -6 \end{array}\right| = (6 + 7 + 8) - (-2 + 14 - 12) = 21 \\[6pt] z = \dfrac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \htmlClass{az}{2} \\ 2 & -1 & \htmlClass{az}{7} \\ 1 & 2 & \htmlClass{az}{-6} \end{array}\right|}{|A|} = \dfrac{21}{7} = 3 \end{array}

Qué es la regla de Cramer y cuándo se aplica

La regla de Cramer da la solución de un sistema lineal mediante cocientes de determinantes. Lleva el nombre de Gabriel Cramer, que la publicó hacia 1750 en un libro sobre curvas algebraicas.

Se puede usar únicamente si el sistema es cuadrado (nn ecuaciones, nn incógnitas) y ∣A∣≠0|A|\neq 0. Entonces rg(A)=rg(A∗)=n\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=n y el sistema es SCD (compatible determinado). Si ∣A∣=0|A|=0, la regla no se puede aplicar.

El método paso a paso

  1. Escribe el sistema en forma matricial A⋅X=BA\cdot X=B y calcula ∣A∣|A|. Si es 00, para.
  2. Para cada incógnita xix_i, forma la matriz AiA_i sustituyendo la columna ii de AA por BB.
  3. Calcula ∣Ai∣|A_i| (por Sarrus en 3×3).
  4. La solución es xi=∣Ai∣∣A∣x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|}.

Un ejemplo completo

Resolvamos

{2x+y−z=1x+3y+2z=133x−y+z=4\begin{cases} 2x+y-z=1\\ x+3y+2z=13\\ 3x-y+z=4 \end{cases}

El determinante del sistema, por Sarrus, es

∣A∣=∣21−11323−11∣=25≠0,|A|=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&3&2\\3&-1&1\end{vmatrix}=25\neq 0,

así que se puede aplicar Cramer. Sustituimos cada columna por B=(1,13,4)tB=(1,13,4)^t:

∣Ax∣=∣11−113324−11∣=25,∣Ay∣=∣21−11132341∣=50,∣Az∣=∣21113133−14∣=75.|A_x|=\begin{vmatrix}1&1&-1\\13&3&2\\4&-1&1\end{vmatrix}=25,\quad |A_y|=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&13&2\\3&4&1\end{vmatrix}=50,\quad |A_z|=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&3&13\\3&-1&4\end{vmatrix}=75.

Por tanto

x=2525=1,y=5025=2,z=7525=3.x=\frac{25}{25}=1,\qquad y=\frac{50}{25}=2,\qquad z=\frac{75}{25}=3.

Comprobación en la primera ecuación: 2⋅1+2−3=12\cdot1+2-3=1. Correcto.

Errores típicos

  • Aplicar Cramer con ∣A∣=0|A|=0. Sería dividir entre cero; el sistema será SCI o SI y hay que discutirlo aparte.
  • Sustituir la columna equivocada. La columna de xx es la primera, la de yy la segunda y la de zz la tercera.
  • Olvidar el orden de las ecuaciones: los términos independientes deben ir en el mismo orden que las filas de AA.
  • Errores de signo en Sarrus. Los tres productos de la diagonal principal suman y los de la secundaria restan.
  • Usarlo en sistemas no cuadrados sin reducirlos antes.

Practica: resuelve el sistema por el método de Gauss.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se puede aplicar la regla de Cramer?

Solo cuando el sistema es cuadrado (tantas ecuaciones como incógnitas) y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. En ese caso el sistema es compatible determinado.

¿Qué hago si el determinante del sistema es cero?

Cramer no sirve directamente. Hay que discutir el sistema con Rouché-Frobenius, comparando rg(A) y rg(A*), o resolverlo por Gauss.

¿Cómo se calcula cada incógnita con Cramer?

Se sustituye en la matriz de coeficientes la columna de esa incógnita por la columna de términos independientes, se calcula su determinante y se divide entre el determinante del sistema.

¿Se puede usar Cramer con tres ecuaciones y dos incógnitas?

No directamente, porque la matriz de coeficientes no es cuadrada. Se puede estudiar con Rouché-Frobenius y, si es compatible, quedarse con dos ecuaciones independientes y aplicar Cramer a ellas.

¿Es mejor Cramer o Gauss?

Para sistemas 2x2 y 3x3 con determinante no nulo, Cramer es cómodo y directo. Para sistemas más grandes o no cuadrados, Gauss es más rápido y más general.

Otras herramientas