Saltar al contenido
El bit perdido
Newsletter

Calcular el área entre dos curvas paso a paso

Calcula el área encerrada entre dos funciones: puntos de corte, qué curva va por encima en cada trozo, integrales con la regla de Barrow y gráfica de la región.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Parábola y recta

A=92≈4,5 u2A = \frac{9}{2} \approx 4{,}5\ \text{u}^2

  1. 1Puntos de corte

    Las curvas se cortan donde f(x)=g(x)f(x) = g(x), es decir, donde f(x)−g(x)=0f(x) - g(x) = 0.

    f(x)−g(x)=x2−x−2=0⇒ x∈{−1, 2}\begin{aligned} f(x) - g(x) &= x^{2} - x - 2 = 0\\ \Rightarrow\ x &\in \left\{-1,\ 2\right\}\end{aligned}

  2. 2Primitiva de f − g

    Integramos la diferencia f(x)−g(x)f(x) - g(x):

    ∫(x2−x−2) dx=x33−x22−2x+C\int \left(x^{2} - x - 2\right)\, dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C

  3. 3Integral de una suma

    La integral de una suma es la suma de las integrales: integramos término a término (y las constantes salen fuera).

    ∫(x2−x−2) dx=∫x2 dx+∫−x dx+∫−2 dx\int \left(x^{2} - x - 2\right)\, dx = \int x^{2}\, dx + \int - x\, dx + \int -2\, dx

  4. 4Integrales inmediatas

    Son integrales inmediatas (constante, potencia).

    ∫x2 dx=x33∫−x dx=−x22∫−2 dx=−2x\begin{aligned}\int x^{2}\, dx &= \frac{x^{3}}{3}\\\int - x\, dx &= - \frac{x^{2}}{2}\\\int -2\, dx &= - 2 x\end{aligned}

  5. 5Signo de f − g en cada trozo

    Entre dos cortes consecutivos, f−gf - g no cambia de signo. Probando un punto de cada trozo: en (−1; 2)(-1;\ 2), f<gf < g (la curva de gg va por encima).

  6. 6Integramos cada trozo (Barrow)

    En cada trozo calculamos ∫(f−g) dx\int (f - g)\,dx con la regla de Barrow y tomamos el valor absoluto, porque un área siempre es positiva.

    ∫−12(f−g)dx=[x33−x22−2x]−12=(−103)−76=−92⇒ aˊrea=92\begin{aligned}\int_{-1}^{2} \left(f - g\right) dx &= \Big[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x\Big]_{-1}^{2} = \left(- \frac{10}{3}\right) - \frac{7}{6} = - \frac{9}{2} &&\Rightarrow\ \text{área} = \frac{9}{2}\end{aligned}

  7. 7Sumamos las áreas

    El área total es la suma de las áreas de cada trozo.

    A=92≈4,5A = \frac{9}{2} \approx 4{,}5

Qué es el área entre dos curvas

Si en un intervalo [a,b][a,b] se cumple f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x), el área de la región encerrada entre ambas gráficas es

∫ab(f(x)−g(x)) dx.\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.

Si las curvas se cruzan, hay que dividir el intervalo en los puntos de corte y en cada trozo restar la función de arriba menos la de abajo. En general,

Aˊrea=∑∣∫xixi+1(f(x)−g(x)) dx∣.\text{Área}=\sum\left|\int_{x_i}^{x_{i+1}}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx\right|.

El método paso a paso

  1. Cortes: resuelve f(x)=g(x)f(x)=g(x). Si el enunciado da el intervalo, usa también sus extremos.
  2. Ordena los cortes: x1<x2<…x_1<x_2<\dots
  3. Quién está arriba: en cada intervalo entre cortes consecutivos, prueba un valor de xx y compara ff y gg.
  4. Integra (arriba − abajo) en cada intervalo con la regla de Barrow.
  5. Suma las áreas, todas positivas.

Conviene hacer un dibujo aproximado de la región.

Un ejemplo completo

Calculemos el área encerrada entre f(x)=x3−2xf(x)=x^3-2x y g(x)=x2g(x)=x^2.

Cortes: x3−2x=x2⇒x3−x2−2x=0⇒x(x−2)(x+1)=0x^3-2x=x^2\Rightarrow x^3-x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)(x+1)=0, es decir, x=−1x=-1, x=0x=0 y x=2x=2. Hay dos regiones.

Quién está arriba:

  • En (−1,0)(-1,0), con x=−12x=-\frac12: f=−18+1=78f=-\frac18+1=\frac78 y g=14g=\frac14, luego f>gf>g.
  • En (0,2)(0,2), con x=1x=1: f=−1f=-1 y g=1g=1, luego g>fg>f.

Una primitiva de f−g=x3−x2−2xf-g=x^3-x^2-2x es H(x)=x44−x33−x2H(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-x^2.

Primera región:

∫−10(f−g) dx=H(0)−H(−1)=0−(−512)=512.\int_{-1}^{0}(f-g)\,dx=H(0)-H(-1)=0-\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{5}{12}.

Segunda región:

∫02(g−f) dx=H(0)−H(2)=0−(−83)=83.\int_{0}^{2}(g-f)\,dx=H(0)-H(2)=0-\left(-\frac83\right)=\frac83.

El área total es

512+83=512+3212=3712 u2≈3,08 u2.\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{5}{12}+\frac{32}{12}=\frac{37}{12}\ \text{u}^2\approx3{,}08\ \text{u}^2.

Fíjate: ∫−12(f−g) dx=512−83=−94\int_{-1}^{2}(f-g)\,dx=\frac{5}{12}-\frac{8}{3}=-\frac94, que no es el área, porque las dos regiones se restarían.

Errores típicos

  • Integrar de golpe entre los extremos sin separar en los cortes.
  • No comprobar cuál está arriba y restar siempre f−gf-g.
  • Olvidar algún punto de corte, sobre todo cuando son tres o más.
  • Dar un área negativa o sin unidades.
  • Confundir los cortes entre curvas con los cortes con el eje X.

Practica: calcula una integral definida con la regla de Barrow.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?

Se hallan los puntos de corte igualando las funciones, se determina en cada intervalo cuál está por encima y se integra la diferencia (la de arriba menos la de abajo). Se suman los resultados.

¿Cómo sé qué curva está por encima?

Toma un valor de x dentro del intervalo entre dos cortes consecutivos y calcula f(x) y g(x). La que dé el valor mayor es la que está por encima en todo ese intervalo.

¿Por qué hay que dividir en intervalos?

Porque si las curvas se cruzan, la que está arriba cambia. Integrar f - g de golpe restaría áreas en lugar de sumarlas.

¿Qué hago si solo hay una curva y el eje X?

Es el caso g(x) = 0. Se buscan los cortes de la función con el eje X y se integra en cada tramo con el valor absoluto.

¿Puede salir un área negativa?

Un área nunca es negativa. Si sale negativa, has restado en el orden contrario o has integrado sin separar los tramos; se corrige tomando valor absoluto en cada tramo.

Otras herramientas