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El bit perdido
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Resolver ecuaciones paso a paso

Resuelve ecuaciones paso a paso: polinómicas (Ruffini), racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas, comprobando las soluciones y descartando las falsas.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Irracional

x=6x = 6

  1. 1Tipo de ecuación

    Es una ecuación irracional: la incógnita está dentro de una raíz. Aislamos la raíz y elevamos los dos miembros al índice de la raíz (al cuadrado, si es cuadrada). Elevar al cuadrado puede añadir soluciones falsas, así que al final hay que comprobarlas todas en la ecuación original.

    x+3=x−3\sqrt{x + 3} = x - 3

  2. 2Elevamos al cuadrado

    Elevamos los dos miembros al cuadrado. En el segundo miembro hay un binomio: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (o (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2).

    (x+3)2=(x−3)2x+3=x2−6x+9\begin{aligned} \left(\sqrt{x + 3}\right)^{2} &= \left(x - 3\right)^{2} \\ x + 3 &= x^{2} - 6 x + 9 \end{aligned}

  3. 3Todo en un miembro

    Pasamos todos los términos al primer miembro y operamos.

    −x2+7x−6=0- x^{2} + 7 x - 6 = 0

  4. 4Coeficientes enteros

    Para trabajar con coeficientes más cómodos, cambiamos el signo (para que el primer coeficiente sea positivo). La ecuación es equivalente porque solo la multiplicamos por un número distinto de cero.

    x2−7x+6=0x^{2} - 7 x + 6 = 0

  5. 5Fórmula de la ecuación de segundo grado

    Aplicamos x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} con a=1a = 1, b=−7b = -7 y c=6c = 6. El discriminante Δ=25\Delta = 25 es positivo: dos soluciones.

    x=−(−7)±(−7)2−4⋅1⋅62⋅1=7±52x1=6,x2=1\begin{aligned} x = \frac{-\left(-7\right) \pm \sqrt{\left(-7\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} &= \frac{7 \pm 5}{2} \\ x_1 &= 6,\quad x_2 = 1 \end{aligned}

  6. 6Comprobamos las soluciones

    Sustituimos cada candidata en la ecuación original (no en la elevada al cuadrado). x=1x = 1 no la cumple: es una solución falsa que apareció al elevar, y se descarta.

    x=1:1+3=2,  1−3=−2  ⇒  2≠−2  no valex=6:6+3=3,  6−3=3  ⇒  3=3  vale\begin{aligned} x = 1:&\quad \sqrt{1 + 3} = 2,\ \ 1 - 3 = -2 \;\Rightarrow\; 2 \neq -2\ \ \htmlClass{ro}{\text{no vale}} \\ x = 6:&\quad \sqrt{6 + 3} = 3,\ \ 6 - 3 = 3 \;\Rightarrow\; 3 = 3\ \ \htmlClass{ve}{\text{vale}} \end{aligned}

Qué tipos de ecuaciones se resuelven

Casi todas las ecuaciones de Bachillerato acaban reduciéndose a una de primer o segundo grado. Lo que cambia es el camino y las comprobaciones necesarias:

TipoIdea claveComprobación
PolinómicaRuffini y factorizarno hace falta
Racionalmultiplicar por el m.c.m.denominador distinto de 00
Irracionalaislar la raíz y elevar al cuadradosiempre sustituir
Exponencialmisma base o cambio t=axt=a^xt>0t>0
Logarítmicaagrupar logaritmosargumentos positivos

El método paso a paso

Polinómicas. Busca raíces enteras entre los divisores del término independiente, aplica Ruffini y repite hasta llegar a grado 2.

Racionales. Multiplica por el m.c.m. de los denominadores, resuelve y descarta los valores que anulen un denominador.

Irracionales. Aísla una raíz en un miembro, eleva al cuadrado los dos miembros (desarrollando el cuadrado del otro miembro entero) y resuelve. Elevar al cuadrado puede crear soluciones falsas: sustituye cada solución en la ecuación original.

Exponenciales. Si puedes, deja la misma base a ambos lados e iguala exponentes. Si aparecen a2xa^{2x} y axa^{x}, haz t=axt=a^x (con t>0t>0).

Logarítmicas. Usa log⁡A+log⁡B=log⁡(AB)\log A+\log B=\log(AB) y log⁡A−log⁡B=log⁡AB\log A-\log B=\log\frac{A}{B} para tener un único logaritmo en cada miembro, iguala los argumentos y comprueba que todos los argumentos originales son positivos.

Un ejemplo completo

Polinómica: x3−2x2−5x+6=0x^3-2x^2-5x+6=0. Probamos con x=1x=1: 1−2−5+6=01-2-5+6=0, así que es raíz. Por Ruffini, los coeficientes 1,−2,−5,61,-2,-5,6 dan cociente x2−x−6x^2-x-6 y resto 00. Entonces

x3−2x2−5x+6=(x−1)(x2−x−6)=(x−1)(x+2)(x−3),x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x+2)(x-3),

con soluciones x=1x=1, x=−2x=-2 y x=3x=3.

Racional: 1x−1+2x+1=1\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=1. Multiplicamos por (x−1)(x+1)(x-1)(x+1):

(x+1)+2(x−1)=x2−1 ⟹ 3x−1=x2−1 ⟹ x2−3x=0.(x+1)+2(x-1)=x^2-1\ \Longrightarrow\ 3x-1=x^2-1\ \Longrightarrow\ x^2-3x=0.

Soluciones x=0x=0 y x=3x=3; ninguna anula los denominadores, así que ambas valen.

Irracional: x+7=x+1\sqrt{x+7}=x+1. Elevamos al cuadrado:

x+7=x2+2x+1 ⟹ x2+x−6=0 ⟹ x=2  o  x=−3.x+7=x^2+2x+1\ \Longrightarrow\ x^2+x-6=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{ o }\ x=-3.

Comprobamos: con x=2x=2, 9=3=2+1\sqrt{9}=3=2+1, correcto. Con x=−3x=-3, 4=2\sqrt{4}=2 pero x+1=−2x+1=-2: solución extraña. La única solución es x=2x=2.

Exponencial: 22x−6⋅2x+8=02^{2x}-6\cdot2^x+8=0. Con t=2xt=2^x: t2−6t+8=0t^2-6t+8=0, de donde t=2t=2 o t=4t=4. Entonces 2x=22^x=2 da x=1x=1 y 2x=42^x=4 da x=2x=2.

Logarítmica: log⁡x+log⁡(x−3)=1\log x+\log(x-3)=1 (logaritmos decimales). Agrupamos: log⁡(x(x−3))=log⁡10\log\big(x(x-3)\big)=\log 10, así que x2−3x=10x^2-3x=10 y x2−3x−10=0x^2-3x-10=0, con x=5x=5 o x=−2x=-2. Para x=−2x=-2 el argumento log⁡(−2)\log(-2) no existe, así que se descarta. La solución es x=5x=5.

Errores típicos

  • No comprobar las soluciones en las irracionales y las logarítmicas. Es el fallo que más puntos cuesta.
  • Elevar al cuadrado un solo término: (x+1)2≠x2+1(x+1)^2\neq x^2+1.
  • Aplicar mal las propiedades de los logaritmos, por ejemplo log⁡(A+B)=log⁡A+log⁡B\log(A+B)=\log A+\log B, que es falso.
  • Olvidar t>0t>0 en las exponenciales: 2x2^x nunca es negativo.
  • Perder raíces al simplificar dividiendo entre una expresión con xx en lugar de factorizar.

Practica: resuelve una ecuación de segundo grado con la fórmula.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve una ecuación polinómica de grado mayor que 2?

Se buscan raíces enteras entre los divisores del término independiente y se comprueban con la regla de Ruffini. Con cada raíz el grado baja una unidad, hasta llegar a una ecuación de segundo grado.

¿Por qué hay que comprobar las soluciones de una ecuación irracional?

Porque para quitar la raíz se eleva al cuadrado, y esto puede introducir soluciones falsas (soluciones extrañas) que no cumplen la ecuación original.

¿Cómo se resuelve una ecuación con la incógnita en el exponente?

Si se puede, se escriben ambos miembros como potencias de la misma base y se igualan los exponentes. Si no, se hace un cambio de variable, como t = 2^x, o se toman logaritmos.

¿Cómo se resuelve una ecuación logarítmica?

Se agrupan los logaritmos con sus propiedades hasta tener uno solo en cada miembro, se igualan los argumentos y se resuelve. Después hay que comprobar que todos los argumentos son positivos.

¿Qué hago con una ecuación racional?

Se multiplican los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores, se resuelve la ecuación resultante y se descartan las soluciones que anulen algún denominador.

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