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El bit perdido
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Resolver ecuaciones de segundo grado paso a paso

Calculadora de ecuaciones de segundo grado paso a paso: forma general, discriminante, fórmula, casos incompletos, raíces exactas con radicales simplificados, factorización y gráfica de la parábola.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Completa con dos soluciones

x1=2,x2=−12x_1 = 2,\quad x_2 = -\frac{1}{2}

  1. 1Identificamos los coeficientes

    Es una ecuación completa de la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. Leemos los coeficientes con su signo.

    a=2,b=−3,c=−2a = 2, \quad b = -3, \quad c = -2

  2. 2Calculamos el discriminante

    El discriminante Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac es lo que va dentro de la raíz en la fórmula, y su signo dice cuántas soluciones hay. Como Δ=25>0\Delta = 25 > 0, hay dos soluciones reales distintas.

    Δ=b2−4ac=(−3)2−4⋅2⋅(−2)=9+16=25\Delta = b^2 - 4ac = \left(-3\right)^2 - 4\cdot 2\cdot \left(-2\right) = 9 + 16 = \htmlClass{az}{25}

  3. 3Aplicamos la fórmula

    Sustituimos los coeficientes en la fórmula. Como 25=5\sqrt{25} = 5 es exacta, las dos soluciones son números racionales: una con el signo ++ y otra con el −-.

    x=−b±Δ2a=−(−3)±252⋅2=3±54  ⟹  {x1=3+54=84=2x2=3−54=−24=−12x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-3\right) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \\[4pt] x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{cases}

  4. 4Comprobación

    Sustituimos cada solución en la ecuación 2x2−3x−2=02x^{2} - 3x - 2 = 0: en los dos casos sale 0, así que son correctas.

    x1=2:2⋅22−3⋅2−2=8−6−2=0x2=−12:2⋅(−12)2−3⋅(−12)−2=12+32−2=0\begin{array}{l} x_1 = 2:\quad 2\cdot 2^{2} - 3\cdot 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 \\[4pt] x_2 = -\frac{1}{2}:\quad 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} - 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0 \end{array}

  5. 5Forma factorizada

    Conocidas las soluciones x1x_1 y x2x_2, el polinomio se factoriza como a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2).

    2x2−3x−2=2(x−2)(x+12)2x^{2} - 3x - 2 = 2\left(x - 2\right)\left(x + \frac{1}{2}\right)

Qué es una ecuación de segundo grado

Es una ecuación que se puede escribir en la forma

ax2+bx+c=0(a≠0).ax^2+bx+c=0\qquad(a\neq0).

Puede tener dos soluciones reales, una (doble) o ninguna, según el signo del discriminante

Δ=b2−4ac.\Delta=b^2-4ac.

El método paso a paso

  1. Deja la ecuación en la forma ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 e identifica aa, bb y cc con sus signos.

  2. Calcula Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac:

    • Δ>0\Delta>0: dos soluciones reales distintas;
    • Δ=0\Delta=0: una solución doble;
    • Δ<0\Delta<0: sin soluciones reales.

  3. Aplica la fórmula

    x=−b±Δ2a.x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.

  4. Comprueba con la suma y el producto de las raíces: x1+x2=−bax_1+x_2=-\dfrac{b}{a} y x1x2=cax_1x_2=\dfrac{c}{a}.

  5. Si lo piden, factoriza: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Ecuaciones incompletas (no hace falta la fórmula):

  • ax2+bx=0ax^2+bx=0: factor común, x(ax+b)=0x(ax+b)=0, con soluciones x=0x=0 y x=−bax=-\dfrac{b}{a}.
  • ax2+c=0ax^2+c=0: se despeja x2=−cax^2=-\dfrac{c}{a} y, si es positivo, x=±−c/ax=\pm\sqrt{-c/a}.

Un ejemplo completo

Resolvamos 2x2−5x−3=02x^2-5x-3=0. Aquí a=2a=2, b=−5b=-5, c=−3c=-3.

El discriminante es Δ=(−5)2−4⋅2⋅(−3)=25+24=49>0\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49>0: habrá dos soluciones.

x=5±494=5±74 ⟹ x1=3,x2=−12.x=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{5\pm7}{4}\ \Longrightarrow\ x_1=3,\quad x_2=-\frac{1}{2}.

Comprobación: suma =3−12=52=−ba=3-\frac12=\frac52=-\frac{b}{a}; producto =3⋅(−12)=−32=ca=3\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac32=\frac{c}{a}.

Factorización: 2x2−5x−3=2(x−3)(x+12)=(x−3)(2x+1)2x^2-5x-3=2(x-3)\left(x+\frac12\right)=(x-3)(2x+1).

Otros casos:

  • 3x2−12x=0⇒3x(x−4)=0⇒x=03x^2-12x=0\Rightarrow 3x(x-4)=0\Rightarrow x=0 o x=4x=4.
  • x2−16=0⇒x=±4x^2-16=0\Rightarrow x=\pm4.
  • x2+2x+5=0x^2+2x+5=0 tiene Δ=4−20=−16<0\Delta=4-20=-16<0: no tiene soluciones reales.
  • Construir la ecuación con raíces 22 y −5-5: (x−2)(x+5)=x2+3x−10=0(x-2)(x+5)=x^2+3x-10=0.

Errores típicos

  • Olvidar el signo de bb. Si b=−5b=-5, entonces −b=+5-b=+5 y b2=25b^2=25.
  • Dividir solo la raíz entre 2a2a: el denominador 2a2a divide a todo el numerador.
  • Calcular mal el discriminante cuando cc es negativo: −4ac-4ac se convierte en suma.
  • Dividir entre xx en una ecuación incompleta y perder la solución x=0x=0.
  • Dar soluciones «imaginarias» cuando piden soluciones reales. Si Δ<0\Delta<0, simplemente no hay soluciones reales.

Practica: resuelve una ecuación bicuadrada con el cambio t=x2t=x^2.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la ecuación de segundo grado?

Para ax² + bx + c = 0, las soluciones son x = (-b ± raíz de (b² - 4ac)) / (2a). El signo ± da las dos soluciones.

¿Qué es el discriminante?

Es el número b² - 4ac, que va dentro de la raíz. Si es positivo hay dos soluciones reales, si es cero hay una (doble) y si es negativo no hay soluciones reales.

¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado incompleta?

Si falta el término independiente (ax² + bx = 0), se saca x factor común y las soluciones son x = 0 y x = -b/a. Si falta el término en x (ax² + c = 0), se despeja x² y se hace la raíz cuadrada, si es posible.

¿Qué relación hay entre las raíces y los coeficientes?

La suma de las raíces es -b/a y su producto es c/a. Sirve para comprobar el resultado o para construir una ecuación a partir de sus soluciones.

¿Cómo se factoriza un trinomio de segundo grado?

Se calculan sus raíces x1 y x2 y se escribe ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2). Si no hay raíces reales, el trinomio no se puede factorizar en los reales.

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