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El bit perdido
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Calculadora de integrales definidas (regla de Barrow)

Calcula integrales definidas paso a paso con la regla de Barrow: primitiva, sustitución de los límites, valor exacto y decimal, e integrales impropias.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Polinomio

∫03(x2−2x+3) dx=9\int_{0}^{3} \left(x^{2} - 2 x + 3\right)\, dx = 9

  1. 1Buscamos una primitiva

    Calculamos primero la integral indefinida F(x)F(x) (sin la constante, que en la definida se cancela).

    ∫(x2−2x+3) dx\int \left(x^{2} - 2 x + 3\right)\, dx

  2. 2Integral de una suma

    La integral de una suma es la suma de las integrales: integramos término a término (y las constantes salen fuera).

    ∫(x2−2x+3) dx=∫x2 dx+∫−2x dx+∫3 dx\int \left(x^{2} - 2 x + 3\right)\, dx = \int x^{2}\, dx + \int - 2 x\, dx + \int 3\, dx

  3. 3Integrales inmediatas

    Son integrales inmediatas (constante, potencia).

    ∫x2 dx=x33∫−2x dx=−x2∫3 dx=3x\begin{aligned}\int x^{2}\, dx &= \frac{x^{3}}{3}\\\int - 2 x\, dx &= - x^{2}\\\int 3\, dx &= 3 x\end{aligned}

  4. 4La primitiva

    Ya tenemos una primitiva; con ella aplicamos la regla de Barrow.

    F(x)=x33−x2+3xF(x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x

  5. 5Regla de Barrow

    La regla de Barrow dice que ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), donde FF es una primitiva de ff. Sustituimos los límites:

    ∫03(x2−2x+3) dx=[x33−x2+3x]03=9−0=9\begin{aligned}\int_{0}^{3} \left(x^{2} - 2 x + 3\right)\, dx &= \Big[\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x\Big]_{0}^{3}\\ &= 9 - 0\\ &= 9\end{aligned}

Qué es la integral definida

La integral definida ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx es un número que mide el área entre la gráfica de ff y el eje XX entre x=ax=a y x=bx=b, contando como positiva la parte por encima del eje y como negativa la que queda por debajo.

Se calcula con la regla de Barrow (segundo teorema fundamental del cálculo): si F′=fF'=f,

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=[F(x)]ab.\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.

El método paso a paso

  1. Calcula una primitiva FF de ff (no hace falta la constante CC).
  2. Evalúa F(b)−F(a)F(b)-F(a).
  3. Si piden el área y ff cambia de signo en [a,b][a,b]:
    • resuelve f(x)=0f(x)=0 y quédate con las raíces dentro del intervalo;
    • calcula la integral en cada subintervalo;
    • suma los valores absolutos.

Propiedades:

  • ∫aaf=0\int_a^a f=0 y ∫baf=−∫abf\int_b^a f=-\int_a^b f.
  • ∫ab(f+g)=∫abf+∫abg\int_a^b(f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g, y las constantes salen fuera.
  • Aditividad: ∫abf=∫acf+∫cbf\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.

Un ejemplo completo

Sea f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4x en el intervalo [−2,3][-2,3]. Una primitiva es F(x)=x44−2x2F(x)=\dfrac{x^4}{4}-2x^2.

Integral definida:

∫−23(x3−4x) dx=F(3)−F(−2)=94−(−4)=254.\int_{-2}^{3}(x^3-4x)\,dx=F(3)-F(-2)=\frac94-(-4)=\frac{25}{4}.

Área. Resolvemos x3−4x=x(x−2)(x+2)=0x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0, con cortes en −2-2, 00 y 22. Integramos por tramos:

∫−20f=4,∫02f=−4,∫23f=254.\int_{-2}^{0}f=4,\qquad\int_{0}^{2}f=-4,\qquad\int_{2}^{3}f=\frac{25}{4}.

La función es positiva en (−2,0)(-2,0), negativa en (0,2)(0,2) y positiva en (2,3)(2,3), así que

Aˊrea=4+∣−4∣+254=574.\text{Área}=4+|-4|+\frac{25}{4}=\frac{57}{4}.

Observa que la integral (254\frac{25}{4}) y el área (574\frac{57}{4}) no coinciden, porque la parte negativa resta en la integral.

Impropias:

∫1∞1x2 dx=lim⁡b→∞[−1x]1b=1 (converge),∫1∞1x dx=lim⁡b→∞ln⁡b=∞ (diverge).\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=1\ \text{(converge)},\qquad\int_1^{\infty}\frac1x\,dx=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty\ \text{(diverge)}.

Errores típicos

  • Confundir integral con área cuando la función cambia de signo.
  • Restar al revés: es F(b)−F(a)F(b)-F(a), no F(a)−F(b)F(a)-F(b).
  • Incluir +C+C y arrastrarlo: se cancela, pero ensucia el cálculo.
  • Olvidar un punto de corte dentro del intervalo y dar un área incorrecta.
  • Evaluar mal con números negativos, por ejemplo (−2)4=16(-2)^4=16 y −24=−16-2^4=-16.

Practica: calcula el área encerrada entre dos curvas.

Preguntas frecuentes

¿Qué dice la regla de Barrow?

Que si F es una primitiva de f, la integral definida de f entre a y b vale F(b) - F(a). Reduce el cálculo de la integral definida a encontrar una primitiva.

¿La integral definida es lo mismo que el área?

No siempre. La integral definida da un área con signo: cuenta como negativa la parte que queda bajo el eje X. Para obtener el área total hay que separar los tramos según el signo de la función.

¿Cómo se calcula el área si la función cambia de signo?

Se calculan los puntos donde la función corta al eje X, se integra en cada tramo y se suman los valores absolutos de los resultados.

¿Qué es una integral impropia?

Es una integral en la que algún límite de integración es infinito o la función no está acotada en el intervalo. Se calcula como un límite y puede dar un número (converge) o no (diverge).

¿Qué pasa si intercambio los límites de integración?

La integral cambia de signo. Integrar de b a a da el opuesto de integrar de a a b.

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