Ejemplo resuelto paso a paso

Tres máquinas y latas defectuosas

\begin{gathered} P(\text{Defectuosa}) = 0{,}1025 \\ P(\text{Máquina 1}\mid \text{Defectuosa}) = \frac{12}{41} \approx 0{,}2927 \\ P(\text{Máquina 2}\mid \text{Defectuosa}) = \frac{9}{41} \approx 0{,}2195 \\ P(\text{Máquina 3}\mid \text{Defectuosa}) = \frac{20}{41} \approx 0{,}4878 \end{gathered}

Diagrama de árbol: Máquina 1 con probabilidad 0,3, y dentro, Defectuosa con probabilidad 0,1; Máquina 2 con probabilidad 0,45, y dentro, Defectuosa con probabilidad 0,05; Máquina 3 con probabilidad 0,25, y dentro, Defectuosa con probabilidad 0,2.

1Los datos en un diagrama de árbol
Llamamos $A_{1}$ = «Máquina 1», $A_{2}$ = «Máquina 2», $A_{3}$ = «Máquina 3», y $B$ = «Defectuosa». Las causas forman un sistema completo de sucesos: no se solapan y cubren todos los casos, así que sus probabilidades suman 1. En el segundo nivel del árbol, cada rama se parte en $B$ y su contrario $\overline{B}$ , que suman 1 dentro de cada causa. La probabilidad de $A_{3}$ es lo que falta hasta 1: $1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25$ .
$\begin{aligned} P(A_{1}) &= 0{,}3 & P(B\mid A_{1}) &= 0{,}1 & P(\overline{B}\mid A_{1}) &= 1 - 0{,}1 = 0{,}9 \\ P(A_{2}) &= 0{,}45 & P(B\mid A_{2}) &= 0{,}05 & P(\overline{B}\mid A_{2}) &= 1 - 0{,}05 = 0{,}95 \\ P(A_{3}) &= 0{,}25 & P(B\mid A_{3}) &= 0{,}2 & P(\overline{B}\mid A_{3}) &= 1 - 0{,}2 = 0{,}8 \end{aligned}$
2Probabilidad de cada rama (regla del producto)
La probabilidad de llegar al final de una rama es el producto de las probabilidades del camino: $P(A_i\cap B) = P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$ .
$\begin{aligned} P(A_{1}\cap B) &= 0{,}3\cdot 0{,}1 = 0{,}03 \\ P(A_{2}\cap B) &= 0{,}45\cdot 0{,}05 = 0{,}0225 \\ P(A_{3}\cap B) &= 0{,}25\cdot 0{,}2 = 0{,}05 \end{aligned}$
3Teorema de la probabilidad total
Se llega a $B$ por 3 caminos que no se solapan, así que $P(B)$ es la suma de sus ramas. La probabilidad de que no ocurra es la del contrario.
$\begin{aligned} P(B) &= P(A_{1}\cap B) + P(A_{2}\cap B) + P(A_{3}\cap B) \\ &= 0{,}03 + 0{,}0225 + 0{,}05 = 0{,}1025 \\ P(\overline{B}) &= 1 - P(B) = 0{,}8975 \end{aligned}$
4Teorema de Bayes
Si sabemos que ha ocurrido $B$ , la probabilidad de que venga de cada causa es su rama dividida entre el total de $B$ : $P(A_i\mid B) = \dfrac{P(A_i)\,P(B\mid A_i)}{P(B)}$ . Estas probabilidades suman 1.
$\begin{aligned} P(A_{1}\mid B) &= \frac{P(A_{1}\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}1025} = \frac{12}{41} \approx 0{,}2927 \\ P(A_{2}\mid B) &= \frac{P(A_{2}\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}0225}{0{,}1025} = \frac{9}{41} \approx 0{,}2195 \\ P(A_{3}\mid B) &= \frac{P(A_{3}\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}05}{0{,}1025} = \frac{20}{41} \approx 0{,}4878 \end{aligned}$
5Y si no ocurre $B$
Lo mismo con las ramas de $\overline{B}$ , por si el problema pregunta por la causa sabiendo que no ha ocurrido $B$ .
$\begin{aligned} P(A_{1}\mid \overline{B}) &= \frac{P(A_{1}\cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \dfrac{0{,}27}{0{,}8975} = \frac{108}{359} \approx 0{,}3008 \\ P(A_{2}\mid \overline{B}) &= \frac{P(A_{2}\cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \dfrac{0{,}4275}{0{,}8975} = \frac{171}{359} \approx 0{,}4763 \\ P(A_{3}\mid \overline{B}) &= \frac{P(A_{3}\cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \dfrac{0{,}2}{0{,}8975} = \frac{80}{359} \approx 0{,}2228 \end{aligned}$
6Tabla de contingencia
Los mismos datos en una tabla: cada casilla es una rama del árbol, las filas suman la probabilidad de cada causa y las columnas, la de $B$ y la de su contrario.
$\begin{array}{c|cc|c} & B & \overline{B} & \text{Total} \\ \hline A_{1} & 0{,}03 & 0{,}27 & 0{,}3 \\ A_{2} & 0{,}0225 & 0{,}4275 & 0{,}45 \\ A_{3} & 0{,}05 & 0{,}2 & 0{,}25 \\ \hline \text{Total} & 0{,}1025 & 0{,}8975 & 1 \end{array}$

El diagrama de árbol

Casi todos los problemas de probabilidad condicionada de la PAU tienen la misma forma: unas causas $A_1, A_2, \dots$ (máquinas, grupos de edad, urnas) que no se solapan y cubren todos los casos, y un suceso $B$ (defectuosa, accidente, bola roja) del que se sabe su probabilidad dentro de cada causa, $P(B\mid A_i)$ .

El árbol tiene dos niveles. En el primero, cada causa con su probabilidad; en el segundo, cada causa se parte en $B$ y en su contrario $\overline{B}$ . La probabilidad de una rama completa es el producto de su camino:

P(A_i\cap B)=P(A_i)\cdot P(B\mid A_i).

Probabilidad total y Bayes

Probabilidad total: a $B$ se llega por varias ramas, así que se suman:
$P(B)=\sum_i P(A_i)\,P(B\mid A_i).$
Bayes: si ya sabemos que ha ocurrido $B$ , la probabilidad de que venga de la causa $A_i$ es su rama entre el total:
$P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)\,P(B\mid A_i)}{P(B)}.$

Un ejemplo completo

Una enfermedad la tiene el $1\,\%$ de la población. Un test la detecta en el $99\,\%$ de los enfermos, pero da positivo en el $5\,\%$ de los sanos. Si a una persona le sale positivo, ¿qué probabilidad hay de que esté enferma?

Las causas son «enfermo» ( $0{,}01$ ) y «sano» ( $0{,}99$ ), y el suceso, «positivo». Por la probabilidad total,

P(+)=0{,}01\cdot0{,}99+0{,}99\cdot0{,}05=0{,}0099+0{,}0495=0{,}0594.

Por Bayes,

P(\text{enfermo}\mid +)=\frac{0{,}0099}{0{,}0594}=\frac{1}{6}\approx0{,}1667.

Solo un $16{,}7\,\%$ : como la enfermedad es rara, la mayoría de los positivos son sanos con un falso positivo. Es un resultado que sorprende, y la razón de que un positivo se confirme con una segunda prueba.

Errores típicos

Confundir $P(B\mid A)$ con $P(A\mid B)$ : «el 5 % de las piezas de la máquina 2 son defectuosas» es $P(D\mid M_2)$ , no $P(M_2\mid D)$ .
Olvidar dividir entre $P(B)$ en Bayes, y dar la rama $P(A_i\cap B)$ como respuesta.
Causas que no suman 1: si te dan dos de tres, la tercera es lo que falta.
Sumar en lugar de multiplicar a lo largo de una rama.

Preguntas frecuentes

¿Qué dice el teorema de la probabilidad total?

Si unas causas A1, …, An no se solapan y cubren todos los casos, la probabilidad de un suceso B es la suma de las probabilidades de llegar a B por cada causa: P(B) = P(A1)·P(B|A1) + … + P(An)·P(B|An). En el diagrama de árbol, es sumar las ramas que acaban en B.

¿Qué dice el teorema de Bayes?

Da la probabilidad de una causa sabiendo que ha ocurrido el efecto: P(Ai|B) = P(Ai)·P(B|Ai) / P(B). Es la rama de esa causa dividida entre la probabilidad total de B.

¿Cómo sé si un problema es de Bayes?

Cuando te dan probabilidades del efecto dentro de cada causa (el 5 % de las piezas de la máquina 2 son defectuosas) y te preguntan al revés: sabiendo que una pieza es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que venga de la máquina 2? La pista es el «sabiendo que» o el «si se sabe que».

¿Qué diferencia hay entre P(A ∩ B) y P(A | B)?

P(A ∩ B) es la probabilidad de que ocurran las dos cosas, contando sobre el total. P(A | B) es la probabilidad de A contando solo entre los casos en que ha ocurrido B: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

¿Puedo escribir los datos en porcentajes?

Sí: la calculadora admite 30 %, 0,3 o 3/10 (si escribes 30 sin el %, te pregunta si querías 30 %). Da el decimal exacto si es corto (0,1025); si no, la fracción y su valor con cuatro decimales (12/41 ≈ 0,2927) o, si la fracción es muy larga, solo el redondeo.

¿Y si me dan P(A ∩ B) en lugar de P(B | A)?

Esta calculadora parte de las probabilidades de las causas, P(Aᵢ), y de las del suceso dentro de cada causa, P(B | Aᵢ). Si el enunciado da P(A ∩ B), calcula antes P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).

Otras herramientas

Para leer

El problema de Monty Hall: la puerta que enfadó a mil doctores

Ejemplo resuelto paso a paso

1Los datos en un diagrama de árbol

2Probabilidad de cada rama (regla del producto)

3Teorema de la probabilidad total

4Teorema de Bayes

5Y si no ocurre BBB

6Tabla de contingencia