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El bit perdido
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Calculadora de la distribución binomial paso a paso

Calcula probabilidades de la distribución binomial B(n, p) paso a paso: exactamente k, como mucho, al menos o entre dos valores, con la fórmula, cada término, el cálculo por el contrario y el diagrama de barras.

p admite 0,7, 70% o 7/10. «Al menos 5» es X ≥ 5; «más de 7» es X > 7, es decir, X ≥ 8.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Al menos 5 ventas en 10 llamadas

P(X≥5)≈0,9527P(X \ge 5) \approx 0{,}9527
Diagrama de barras de B(10, 0,7); en color, los valores de X ≥ 5.

  1. 1Es una distribución binomial

    Se repite 10 veces una prueba con dos resultados (éxito o fracaso), de forma independiente y con la misma probabilidad de éxito p=0,7p = 0{,}7. El número de éxitos, XX, sigue una binomial; la probabilidad de fracaso es q=1−p=0,3q = 1 - p = 0{,}3.

    X∼B(10, 0,7)X \sim B(10,\ 0{,}7)

  2. 2La fórmula

    La probabilidad de exactamente kk éxitos es el número de formas de elegir en qué pruebas salen, (nk)\binom{n}{k}, por la probabilidad de cada una de esas formas.

    P(X=k)=(nk) pk q n−kP(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, q^{\,n-k}

  3. 3Mejor por el contrario

    X≥5X \ge 5 tiene 6 valores, y su contrario solo 5. Es más corto calcular el contrario y restarlo de 1.

    P(X≥5)=1−P(X≤4)P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4)

  4. 4Los términos del contrario

    Sustituimos en la fórmula cada valor que no está en el suceso.

    P(X=0)=(100)⋅0,70⋅0,310≈0,0000059P(X=1)=(101)⋅0,71⋅0,39≈0,00014P(X=2)=(102)⋅0,72⋅0,38≈0,0014P(X=3)=(103)⋅0,73⋅0,37≈0,0090P(X=4)=(104)⋅0,74⋅0,36≈0,0368\begin{aligned} P(X = 0) &= \binom{10}{0}\cdot 0{,}7^{0}\cdot 0{,}3^{10} \approx 0{,}0000059 \\ P(X = 1) &= \binom{10}{1}\cdot 0{,}7^{1}\cdot 0{,}3^{9} \approx 0{,}00014 \\ P(X = 2) &= \binom{10}{2}\cdot 0{,}7^{2}\cdot 0{,}3^{8} \approx 0{,}0014 \\ P(X = 3) &= \binom{10}{3}\cdot 0{,}7^{3}\cdot 0{,}3^{7} \approx 0{,}0090 \\ P(X = 4) &= \binom{10}{4}\cdot 0{,}7^{4}\cdot 0{,}3^{6} \approx 0{,}0368 \end{aligned}

  5. 5Restamos de 1

    Sumamos esos términos y los restamos de 1.

    P(X≥5)=1−0,0473…≈0,9527P(X \ge 5) = 1 - 0{,}0473\ldots \approx 0{,}9527

  6. 6Media y desviación típica

    De paso: el número de éxitos que se espera y cuánto se suele separar de ese valor.

    μ=n p=10⋅0,7=7σ=n p q=2,1=21010≈1,4491\begin{aligned} \mu &= n\,p = 10\cdot 0{,}7 = 7 \\ \sigma & = \sqrt{n\,p\,q} = \sqrt{2{,}1} = \frac{\sqrt{210}}{10} \approx 1{,}4491 \end{aligned}

Qué es la distribución binomial

Si repetimos nn veces, de forma independiente, una prueba con dos resultados (éxito, con probabilidad pp, o fracaso, con probabilidad q=1−pq=1-p), el número de éxitos XX sigue una distribución binomial, X∼B(n,p)X\sim B(n,p), y

P(X=k)=(nk) pk q n−k,k=0,1,…,n.P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k},\qquad k=0,1,\dots,n.

El número combinatorio (nk)\binom{n}{k} cuenta de cuántas formas pueden repartirse los kk éxitos entre las nn pruebas, y pkqn−kp^k q^{n-k} es la probabilidad de cada una de esas formas.

Un ejemplo completo

Lanzamos un dado 5 veces. ¿Qué probabilidad hay de sacar al menos un seis? ¿Y exactamente dos?

El número de seises es X∼B ⁣(5,16)X\sim B\!\left(5,\tfrac16\right). «Al menos uno» se calcula mejor por el contrario:

P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(56)5=1−31257776=46517776≈0,5981.P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\left(\tfrac56\right)^5=1-\frac{3125}{7776}=\frac{4651}{7776}\approx0{,}5981.

Y exactamente dos:

P(X=2)=(52)(16)2(56)3=10⋅136⋅125216=6253888≈0,1608.P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\tfrac16\right)^2\left(\tfrac56\right)^3=10\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac{125}{216}=\frac{625}{3888}\approx0{,}1608.

Con nn grande: aproximación por la normal

Si np>5np>5 y nq>5nq>5, la binomial B(n,p)B(n,p) se parece a la normal N(np,npq)N\left(np,\sqrt{npq}\right). Al pasar de una variable discreta a una continua se usa la corrección por continuidad: cada valor entero kk ocupa el intervalo [k−0,5, k+0,5][k-0{,}5,\ k+0{,}5], así que, por ejemplo, P(X≥40)≈P(X′≥39,5)P(X\ge 40)\approx P(X'\ge 39{,}5). La calculadora da siempre el valor exacto y, cuando se cumplen las dos condiciones, añade también la aproximación, por si el enunciado la pide. Calcula exactamente hasta n=200n=200; con nn mayor, aproxima por la normal y usa la calculadora de la distribución normal.

Errores típicos

  • Confundir «más de kk» con «al menos kk»: X>7X>7 empieza en 8.
  • Olvidar el número combinatorio y escribir solo pkqn−kp^k q^{n-k}.
  • Sumar muchos términos cuando el contrario tiene pocos: P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
  • Usar la binomial sin independencia: si se sacan bolas sin devolverlas, las extracciones no son independientes (la probabilidad de cada una depende de lo que salió antes) y no es binomial.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo es binomial una variable?

Cuando cuenta el número de éxitos en n pruebas iguales e independientes, cada una con solo dos resultados (éxito o fracaso) y la misma probabilidad de éxito p. Por ejemplo, el número de seises al lanzar un dado 5 veces, o de ventas en 10 llamadas.

¿Cuál es la fórmula de la distribución binomial?

P(X = k) = C(n, k) · p^k · q^(n − k), donde q = 1 − p. El número combinatorio C(n, k) cuenta en cuántas posiciones pueden caer los k éxitos.

¿Cómo se calcula «al menos uno»?

Por el contrario: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − q^n. Es mucho más corto que sumar P(X = 1) + … + P(X = n).

¿Qué diferencia hay entre «más de 7» y «al menos 7»?

«Más de 7» es X > 7, es decir, X ≥ 8 (el 7 no entra). «Al menos 7» es X ≥ 7 (el 7 sí entra). Es un error muy frecuente.

¿Qué tablas de la binomial da la PAU?

En Matemáticas II, una tabla acumulada, F(x) = P(X ≤ x), con n hasta 13 (2026); en MACS II, una tabla de P(X = k) con n hasta 9. Los criterios suman valores redondeados de la tabla, así que la cuarta cifra decimal puede diferir un poco de la exacta que da la calculadora.

¿Cuáles son la media y la desviación típica de una binomial?

La media es μ = n·p y la desviación típica es σ = √(n·p·q).

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