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El bit perdido
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Calculadora de combinatoria: variaciones, permutaciones y combinaciones

Calcula variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición, paso a paso: qué tipo de recuento es según importe el orden o se repitan los elementos, la fórmula y la cuenta exacta.

¿Importa el orden?
¿Se pueden repetir los elementos?

Si importa el orden, no se repiten y k = n, son permutaciones: las formas de ordenar todos los elementos.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Comité de 3 entre 10

C10,3=120C_{10,3} = 120

  1. 1Qué tipo de recuento es

    Hay n=10n = 10 elementos y se eligen k=3k = 3. No importa el orden (el grupo {a,b}\{a, b\} es el mismo que {b,a}\{b, a\}) y no se repiten: son combinaciones sin repetición.

  2. 2Fórmula de las combinaciones sin repetición

    Se cuentan las variaciones y se divide entre k!k!, porque cada grupo de kk elementos aparece ordenado de k!k! maneras distintas.

    Cn,k=(nk)=n!k! (n−k)!C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

  3. 3Cuenta

    Sustituimos y simplificamos los factoriales: solo quedan los factores que no se cancelan.

    C10,3=(103)=10⋅9⋅83⋅2⋅1=7206=120C_{10,3} = \binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{720}{6} = 120

Las dos preguntas

Para contar de cuántas maneras se pueden elegir kk elementos de un conjunto de nn, en la mayoría de los casos basta con contestar dos preguntas:

No se repitenSe pueden repetir
Importa el ordenVariaciones Vn,k=n!(n−k)!V_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}Variaciones con repetición VRn,k=nkVR_{n,k}=n^k
No importa el ordenCombinaciones Cn,k=(nk)C_{n,k}=\dbinom{n}{k}Combinaciones con repetición CRn,k=(n+k−1k)CR_{n,k}=\dbinom{n+k-1}{k}

Si importa el orden, no se repiten y se usan todos (k=nk=n), son permutaciones: Pn=n!P_n=n!.

Hay un caso que la tabla no cubre: ordenar nn objetos entre los que hay repetidos (los anagramas de una palabra, colocar bolas de colores en fila). Son permutaciones con repetición, PRna,b,…=n!a! b!⋯PR_n^{a,b,\dots}=\dfrac{n!}{a!\,b!\cdots}, donde a,b,…a, b, \dots son las veces que se repite cada objeto: CASA tiene 4!2!=12\frac{4!}{2!}=12 anagramas. Esta calculadora no las trae.

Un ejemplo completo

¿Cuántas manos de póker de 5 cartas se pueden repartir con una baraja francesa de 52?

  1. ¿Importa el orden? No: la mano es la misma la recibas en el orden que la recibas.
  2. ¿Se repiten? No: cada carta está una sola vez en la baraja.

Son combinaciones sin repetición de 52 elementos tomados de 5 en 5:

C52,5=(525)=52⋅51⋅50⋅49⋅485⋅4⋅3⋅2⋅1=311 875 200120=2 598 960.C_{52,5}=\binom{52}{5}=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{311\,875\,200}{120}=2\,598\,960.

Si importara el orden (las cartas boca arriba, una detrás de otra), serían V52,5=311 875 200V_{52,5}=311\,875\,200: cada mano aparece ordenada de 5!=1205!=120 maneras.

Errores típicos

  • Usar variaciones cuando no importa el orden: cuenta cada grupo k!k! veces.
  • Olvidar que kk no puede ser mayor que nn sin repetición: no se pueden elegir 5 personas distintas entre 3.
  • Confundir nkn^k con knk^n en las variaciones con repetición: un PIN de 4 cifras tiene 10410^4 posibilidades (10 opciones para cada una de las 4 posiciones), no 4104^{10}.
  • Combinaciones con repetición: no son nk/k!n^k/k! (ese cociente no suele ser entero); la fórmula buena es (n+k−1k)\binom{n+k-1}{k}. Son las de repartir objetos iguales entre tipos: 5 helados de 3 sabores, caramelos iguales entre niños.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre variaciones y combinaciones?

En las variaciones importa el orden y en las combinaciones no. Elegir presidente, secretario y tesorero entre 10 personas son variaciones (10 · 9 · 8 = 720 maneras); elegir un comité de 3 sin cargos son combinaciones (120 maneras), porque cada comité aparece ordenado de 3! = 6 formas.

¿Cómo sé si importa el orden?

Cambia de sitio dos elementos y pregúntate si sale otra cosa. En un podio, una contraseña o un número de teléfono, sí. En un grupo de personas, una mano de cartas o los ingredientes de una ensalada, no.

¿Qué son las permutaciones?

Son las formas de ordenar todos los elementos de un conjunto: variaciones sin repetición con k = n. Con n elementos hay n! permutaciones; por ejemplo, 7 libros se colocan en una estantería de 7! = 5040 maneras.

¿Qué es el número combinatorio?

Es C(n, k) = n! / (k! (n − k)!), que se lee «n sobre k» y cuenta los subconjuntos de k elementos de un conjunto de n. Aparece en el binomio de Newton, en el triángulo de Pascal y en la distribución binomial de probabilidad.

¿Para qué sirve la combinatoria en la PAU?

Para contar casos favorables y casos posibles en la regla de Laplace, y en la distribución binomial, donde la probabilidad de k éxitos en n pruebas lleva el número combinatorio C(n, k).

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