Sumas de Riemann
Cambia el número de rectángulos y mira cómo la suma se acerca al área exacta bajo la curva.
Gráfica de la integral definida Puedes mover la gráfica con las flechas del teclado y ampliar con + y −.
También puedes arrastrar los puntos a y b sobre el eje X.
\int_{0}^{1} \,dx
Qué son las sumas de Riemann
Para calcular el área bajo la curva de una función entre a y b se puede empezar por algo más sencillo: dividir el intervalo en n trozos del mismo ancho, dibujar sobre cada trozo un rectángulo y sumar las áreas. Esa suma es una suma de Riemann. Si el ancho de cada trozo es Δx = (b − a)/n, la suma por la izquierda es Δx · [f(x₀) + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁)], y la suma por la derecha usa f(x₁), …, f(xₙ).
Un ejemplo con números
Para f(x) = x² en el intervalo [0, 1], la integral vale exactamente 1/3 ≈ 0,3333. Con distintas sumas se obtiene:
| Suma | n = 4 | n = 10 | n = 100 |
|---|---|---|---|
| Izquierda | 0,21875 | 0,285 | 0,32835 |
| Derecha | 0,46875 | 0,385 | 0,33835 |
| Punto medio | 0,328125 | 0,3325 | 0,333325 |
| Trapecios | 0,34375 | 0,335 | 0,33335 |
Con n = 100, las sumas por la izquierda y por la derecha todavía se equivocan en unas cinco milésimas, mientras que el punto medio solo falla en unas ocho millonésimas. Prueba tú mismo a movern en la gráfica y a cambiar la función.
Cómo se acercan a la integral
Al hacer los trozos cada vez más estrechos, los rectángulos se pegan a la curva y la suma se acerca al área. La integral definida es justamente el valor límite cuando n tiende a infinito. En la gráfica puedes ver el error: la diferencia entre la suma y el valor de la integral. Para x² en [0, 1], el error de la suma por la izquierda baja casi a la mitad cada vez que se duplica n, mientras que el del punto medio se divide por cuatro.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una suma de Riemann?
Es una forma de aproximar el área bajo una curva. Se divide el intervalo [a, b] en n trozos iguales, se levanta sobre cada trozo un rectángulo (o un trapecio) y se suman sus áreas. Cuantos más trozos, mejor se ajusta la suma al área real.
¿Cuál es la diferencia entre izquierda, derecha y punto medio?
Es la altura de cada rectángulo. En la suma por la izquierda se usa el valor de f en el extremo izquierdo del trozo; por la derecha, en el extremo derecho; en el punto medio, en el centro. Con los trapecios se unen los dos extremos con un segmento. El punto medio y los trapecios suelen acercarse mucho más rápido que los otros dos.
¿Por qué la suma por la izquierda queda por debajo y la de la derecha por encima?
Cuando la función es creciente, el valor de la izquierda es el más pequeño de cada trozo y el de la derecha el más grande. Por eso la suma por la izquierda se queda corta y la de la derecha se pasa. Si la función es decreciente ocurre al revés.
¿Qué relación tiene esto con la integral definida?
La integral definida es el valor al que se acercan las sumas de Riemann cuando n crece sin límite. Se escribe con el símbolo ∫ y se calcula casi siempre con la regla de Barrow, sin hacer ninguna suma; las sumas sirven para entender de dónde sale.
¿Y si la función es negativa en parte del intervalo?
Los rectángulos que quedan bajo el eje X cuentan con signo negativo, igual que la integral. Por eso la integral puede dar cero o un número negativo aunque haya área: es el área por encima menos el área por debajo.