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El bit perdido
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Estudiar el rango de una matriz según un parámetro

Calculadora del rango de una matriz con parámetro: determinante o menores orlados, valores que anulan los menores de orden máximo y rango en cada caso, paso a paso.

A =
Filas 3 Columnas 3

Cada casilla admite enteros (−3), decimales (2.5) o fracciones (3/4).

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

3×3

m≠−2 y m≠1:rg⁡(A)=3m=−2:rg⁡(A)=2m=1:rg⁡(A)=1\begin{array}{ll} m \neq -2 \text{ y } m \neq 1: & \operatorname{rg}(A) = 3 \\ m = -2: & \operatorname{rg}(A) = 2 \\ m = 1: & \operatorname{rg}(A) = 1 \end{array}

  1. 1La matriz

    Estudiamos el rango de AA según los valores de mm: primero para un valor cualquiera y después en los valores que anulan los menores de orden máximo, que son los únicos en los que el rango puede bajar.

    A=(11m1m1m11)A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{array}\right)

  2. 2Determinante de AA

    Como AA es cuadrada, su rango es 3 justo cuando ∣A∣≠0|A| \neq 0. Calculamos el determinante en función de mm. Regla de Sarrus: sumamos el producto de la diagonal principal y los de sus dos «triángulos», y restamos el de la diagonal secundaria y los de los suyos.

    ∣A∣=∣11m1m1m11∣=(1⋅m⋅1+1⋅1⋅m+m⋅1⋅1)−(m⋅m⋅m+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1)=(m+m+m)−(m3+1+1)=3m−(m3+2)=−m3+3m−2\begin{aligned} |A| &= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{array}\right| \\ &= \left(1\cdot m\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot m + m\cdot 1\cdot 1\right) - \left(m\cdot m\cdot m + 1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1\right) \\ &= \left(m + m + m\right) - \left(m^{3} + 1 + 1\right) \\ &= 3m - \left(m^{3} + 2\right) \\ &= -m^{3} + 3m - 2 \end{aligned}

  3. 3Regla de Ruffini

    Sus posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: ±1, ±2\pm 1,\ \pm 2. Probando con la regla de Ruffini, m=1m = 1 es raíz:

    −103−21−1−12−1−120−m3+3m−2=(m−1)(−m2−m+2)\begin{array}{c} \begin{array}{r|rrrr} & -1 & 0 & 3 & -2 \\ 1 & & -1 & -1 & 2 \\ \hline & -1 & -1 & 2 & 0 \end{array} \\[6pt] -m^{3} + 3m - 2 = \left(m - 1\right)\left(-m^{2} - m + 2\right) \end{array}

  4. 4Ecuación de segundo grado

    Queda la ecuación de segundo grado −m2−m+2=0-m^{2} - m + 2 = 0 (dividiendo entre −1-1, es lo mismo que m2+m−2=0m^{2} + m - 2 = 0). Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado.

    m=−b±b2−4ac2a=−1±12−4⋅1⋅(−2)2=−1±32  ⇒  m=1,m=−2m = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4\cdot 1\cdot (-2)}}{2} = \dfrac{-1 \pm 3}{2} \;\Rightarrow\; m = 1, \quad m = -2

  5. 5Valores que anulan el determinante

    Factorizado, el determinante se anula solo para m=−2m = -2 y m=1m = 1 (raíz doble).

    ∣A∣=−m3+3m−2=−(m+2)(m−1)2|A| = -m^{3} + 3m - 2 = -\left(m + 2\right)\left(m - 1\right)^{2}

  6. 6Si m≠−2 y m≠1m \neq -2 \text{ y } m \neq 1

    Para esos valores ∣A∣≠0|A| \neq 0, así que rg⁡(A)=3\operatorname{rg}(A) = 3.

  7. 7Rango para m=−2m = -2

    Sustituimos el valor en la matriz. El menor de orden 2 de las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 no es nulo y como ∣A∣=0|A| = 0 para este valor, rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2.

    A=(11−21−21−211)∣111−2∣=1⋅(−2)−1⋅1=−3≠0A = \left(\begin{array}{ccc} \htmlClass{az}{1} & \htmlClass{az}{1} & -2 \\ \htmlClass{az}{1} & \htmlClass{az}{-2} & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right) \qquad \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right| = 1\cdot \left(-2\right) - 1\cdot 1 = -3 \neq 0

  8. 8Rango para m=1m = 1

    Sustituimos el valor en la matriz. El elemento de la fila 1 y la columna 1 no es nulo y todos los menores de orden 2 valen 0 para este valor, así que rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A) = 1.

    A=(111111111)1≠0A = \left(\begin{array}{ccc} \htmlClass{az}{1} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \qquad 1 \neq 0

  9. 9Resumen

    El rango de la matriz según el valor del parámetro:

    m≠−2 y m≠1:rg⁡(A)=3m=−2:rg⁡(A)=2m=1:rg⁡(A)=1\begin{array}{ll} m \neq -2 \text{ y } m \neq 1: & \operatorname{rg}(A) = 3 \\ m = -2: & \operatorname{rg}(A) = 2 \\ m = 1: & \operatorname{rg}(A) = 1 \end{array}

Qué es y cuándo se usa

El rango de una matriz es el mayor orden de un menor (un determinante cuadrado sacado de sus filas y columnas) que no vale cero. Cuando los elementos dependen de un parámetro, el rango puede cambiar con su valor, y el ejercicio típico de la PAU pide «estudia el rango de AA según los valores de aa».

Lo habitual es que el rango sea el máximo posible para casi todos los valores y baje solo en unos pocos: los que anulan los menores de orden máximo.

El método paso a paso

  1. Mira el tamaño: una matriz de m×nm\times n tiene rango como mucho min⁡(m,n)\min(m,n).
  2. Si es cuadrada, calcula ∣A∣|A| y sus raíces. Fuera de ellas, el rango es el orden de la matriz.
  3. Si no es cuadrada, busca un menor que no dependa del parámetro y no sea cero (eso fija un rango mínimo) y órlalo: calcula los menores de un orden más que lo contienen. Los valores que los anulan todos a la vez son los críticos.
  4. En cada valor crítico, sustituye y busca el mayor menor no nulo.
  5. Resume en una tabla.

Un ejemplo completo

Estudiemos el rango de

A=(1a1221a11111).A=\begin{pmatrix}1&a&1&2\\2&1&a&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}.

Es de 3×43\times4, así que rg(A)≤3\text{rg}(A)\le3. El menor de las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 4 no depende de aa:

∣1221∣=1−4=−3≠0⇒rg(A)≥2.\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=1-4=-3\neq0\quad\Rightarrow\quad \text{rg}(A)\ge2.

Lo orlamos con la fila 3 y con la columna 2 o la columna 3:

∣1a2211111∣=2−a,∣1122a1111∣=2−a.\begin{vmatrix}1&a&2\\2&1&1\\1&1&1\end{vmatrix}=2-a,\qquad \begin{vmatrix}1&1&2\\2&a&1\\1&1&1\end{vmatrix}=2-a.

Los dos se anulan a la vez solo para a=2a=2.

  • Si a≠2a\neq2, hay un menor de orden 3 no nulo: rg(A)=3\text{rg}(A)=3.
  • Si a=2a=2, el menor de orden 2 sigue valiendo −3-3 y todos sus orlados se anulan: rg(A)=2\text{rg}(A)=2.
Valor de aaRango
a≠2a\neq2rg(A)=3\text{rg}(A)=3
a=2a=2rg(A)=2\text{rg}(A)=2

Errores típicos

  • Calcular solo un menor de orden máximo y concluir que el rango baja cuando se anula: hay que comprobar que se anulan todos (o todos los orlados).
  • Elegir un menor de partida que depende del parámetro sin estudiar cuándo vale cero.
  • Olvidar que el rango no puede pasar de min⁡(m,n)\min(m,n): en una matriz de 3×43\times4 nunca es 4.
  • Dar el rango del caso general para los valores críticos sin sustituirlos.

Practica: discute un sistema con parámetro.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el rango de una matriz con parámetro?

Se busca el mayor orden de un menor que no se anule. Para un valor cualquiera del parámetro se mira el orden máximo; después se calculan los valores que anulan todos esos menores a la vez y, en cada uno, se vuelve a calcular el rango.

¿Qué es orlar un menor?

Es añadirle una fila y una columna más de la matriz para formar un menor de un orden superior. Si un menor de orden k no es nulo y todos sus orlados de orden k + 1 se anulan, el rango es k.

¿Y si la matriz es cuadrada?

Basta con su determinante: si |A| ≠ 0 el rango es el orden de la matriz. Los valores que anulan |A| son los únicos en los que el rango puede ser menor, y se estudian uno a uno.

¿Puede bajar el rango por debajo de un menor que no depende del parámetro?

No. Si un menor de orden k no depende del parámetro y no es cero, el rango es al menos k para cualquier valor. Por eso conviene buscar primero un menor así.

¿Para qué sirve el rango con parámetro?

Es la base para discutir sistemas con el teorema de Rouché-Frobenius y para saber cuándo una matriz cuadrada tiene inversa (cuando su rango es máximo).

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