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Discutir un sistema con parámetro y resolverlo

Calculadora que discute un sistema de ecuaciones lineales según los valores de un parámetro (a, k, m, λ): determinante, valores críticos, rangos con Rouché-Frobenius y solución en cada caso, paso a paso.

Puedes escribir 2x, -y/2, 3(x - 1) o fracciones como 1/3. También puedes separar las ecuaciones con comas.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Parámetro en la diagonal

a≠−2 y a≠1:SCD (solucioˊn uˊnica)x=−a+1a+2,  y=1a+2,  z=(a+1)2a+2a=−2:SI (sin solucioˊn)a=1:SCI (infinitas soluciones)x=1−λ−μ,y=λ,z=μ,λ,μ∈R\begin{array}{ll} a \neq -2 \text{ y } a \neq 1: & \text{SCD (solución única)} \\[4pt] & x = -\dfrac{a + 1}{a + 2},\; y = \dfrac{1}{a + 2},\; z = \dfrac{\left(a + 1\right)^{2}}{a + 2} \\[4pt] a = -2: & \text{SI (sin solución)} \\[4pt] a = 1: & \text{SCI (infinitas soluciones)} \\[4pt] & x = 1 - \lambda - \mu, \quad y = \lambda, \quad z = \mu, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{array}

  1. 1Matrices del sistema

    Escribimos la matriz de coeficientes AA y la ampliada A∗A^* (con los términos independientes). Según Rouché-Frobenius, el sistema es compatible si y solo si rg⁡(A)=rg⁡(A∗)\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*), y determinado si además ese rango es 3, el número de incógnitas.

    {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2A∗=(a1111a1a11aa2)\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^{2} \end{cases} \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & a^{2} \end{array}\right)

  2. 2Determinante de la matriz de coeficientes

    AA es cuadrada: si ∣A∣≠0|A| \neq 0, rg⁡(A)=rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 y el sistema es compatible determinado. Calculamos ∣A∣|A| en función de aa. Regla de Sarrus: sumamos el producto de la diagonal principal y los de sus dos «triángulos», y restamos el de la diagonal secundaria y los de los suyos.

    ∣A∣=∣a111a111a∣=(a⋅a⋅a+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1)−(1⋅a⋅1+a⋅1⋅1+1⋅1⋅a)=(a3+1+1)−(a+a+a)=(a3+2)−3a=a3−3a+2\begin{aligned} |A| &= \left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right| \\ &= \left(a\cdot a\cdot a + 1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1\right) - \left(1\cdot a\cdot 1 + a\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot a\right) \\ &= \left(a^{3} + 1 + 1\right) - \left(a + a + a\right) \\ &= \left(a^{3} + 2\right) - 3a \\ &= a^{3} - 3a + 2 \end{aligned}

  3. 3Regla de Ruffini

    Sus posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: ±1, ±2\pm 1,\ \pm 2. Probando con la regla de Ruffini, a=1a = 1 es raíz:

    10−32111−211−20a3−3a+2=(a−1)(a2+a−2)\begin{array}{c} \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \\[6pt] a^{3} - 3a + 2 = \left(a - 1\right)\left(a^{2} + a - 2\right) \end{array}

  4. 4Ecuación de segundo grado

    Queda la ecuación de segundo grado a2+a−2=0a^{2} + a - 2 = 0. Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado.

    a=−1±12−4⋅1⋅(−2)2=−1±32  ⇒  a=1,a=−2a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4\cdot 1\cdot (-2)}}{2} = \dfrac{-1 \pm 3}{2} \;\Rightarrow\; a = 1, \quad a = -2

  5. 5Valores que anulan el determinante

    Factorizado, el determinante se anula solo para a=−2a = -2 y a=1a = 1 (raíz doble).

    ∣A∣=a3−3a+2=(a+2)(a−1)2|A| = a^{3} - 3a + 2 = \left(a + 2\right)\left(a - 1\right)^{2}

  6. 6Caso a≠−2 y a≠1a \neq -2 \text{ y } a \neq 1

    Para estos valores, ∣A∣≠0|A| \neq 0, así que rg⁡(A)=rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3, igual al número de incógnitas. El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

  7. 7Solución por Cramer

    Cada incógnita es el cociente entre el determinante que resulta de cambiar su columna por la de los términos independientes (en azul) y ∣A∣|A|. Simplificamos las fracciones de polinomios (se puede dividir porque, para estos valores, el denominador no es cero).

    ∣Ax∣=∣111aa1a21a∣=−a3+a2+a−1  ⇒  x=∣Ax∣∣A∣=−(a+1)(a−1)2(a+2)(a−1)2=−a+1a+2∣Ay∣=∣a111a11a2a∣=a2−2a+1  ⇒  y=∣Ay∣∣A∣=(a−1)2(a+2)(a−1)2=1a+2∣Az∣=∣a111aa11a2∣=a4−2a2+1  ⇒  z=∣Az∣∣A∣=(a+1)2(a−1)2(a+2)(a−1)2=(a+1)2a+2\begin{array}{l} |A_{x}| = \left|\begin{array}{ccc} \htmlClass{az}{1} & 1 & 1 \\ \htmlClass{az}{a} & a & 1 \\ \htmlClass{az}{a^{2}} & 1 & a \end{array}\right| = -a^{3} + a^{2} + a - 1 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{|A_{x}|}{|A|} = \dfrac{-\left(a + 1\right)\left(a - 1\right)^{2}}{\left(a + 2\right)\left(a - 1\right)^{2}} = -\dfrac{a + 1}{a + 2} \\[8pt] |A_{y}| = \left|\begin{array}{ccc} a & \htmlClass{az}{1} & 1 \\ 1 & \htmlClass{az}{a} & 1 \\ 1 & \htmlClass{az}{a^{2}} & a \end{array}\right| = a^{2} - 2a + 1 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{|A_{y}|}{|A|} = \dfrac{\left(a - 1\right)^{2}}{\left(a + 2\right)\left(a - 1\right)^{2}} = \dfrac{1}{a + 2} \\[8pt] |A_{z}| = \left|\begin{array}{ccc} a & 1 & \htmlClass{az}{1} \\ 1 & a & \htmlClass{az}{a} \\ 1 & 1 & \htmlClass{az}{a^{2}} \end{array}\right| = a^{4} - 2a^{2} + 1 \;\Rightarrow\; z = \dfrac{|A_{z}|}{|A|} = \dfrac{\left(a + 1\right)^{2}\left(a - 1\right)^{2}}{\left(a + 2\right)\left(a - 1\right)^{2}} = \dfrac{\left(a + 1\right)^{2}}{a + 2} \end{array}

  8. 8Caso a=−2a = -2

    Sustituimos el valor en la matriz ampliada. El menor de orden 2 de las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 no es nulo y ∣A∣=0|A| = 0, así que rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2. Al orlarlo con la columna de términos independientes sale un menor de orden 3 distinto de cero (filas 1, 2, 3), así que rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A^*) = 3. El sistema es incompatible: no tiene solución.

    A∗=(−21111−21−211−24)(filas 1 y 2; columnas 1 y 2)∣−211−2∣=(−2)⋅(−2)−1⋅1=3≠0(filas 1, 2 y 3; columnas 1, 2 y 4)∣−2111−2−2114∣=(16−2+1)−(−2+4+4)=9≠0A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \htmlClass{az}{-2} & \htmlClass{az}{1} & 1 & 1 \\ \htmlClass{az}{1} & \htmlClass{az}{-2} & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \end{array}\right) \qquad \begin{array}{l} \text{(filas 1 y 2; columnas 1 y 2)}\quad \left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right| = \left(-2\right)\cdot \left(-2\right) - 1\cdot 1 = 3 \neq 0 \\[4pt] \text{(filas 1, 2 y 3; columnas 1, 2 y 4)}\quad \left|\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right| = (16 - 2 + 1) - (-2 + 4 + 4) = 9 \neq 0 \end{array}

  9. 9Caso a=1a = 1

    Sustituimos el valor en la matriz ampliada. El elemento de la fila 1 y la columna 1 no es nulo y todos los menores de orden 2 de AA se anulan, así que rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A) = 1. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes y cada fila que falta: todos los menores que salen valen 0, así que rg⁡(A∗)=1\operatorname{rg}(A^*) = 1. El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

    A∗=(111111111111)1≠0(filas 1 y 2; columnas 1 y 4)∣1111∣=1⋅1−1⋅1=0(filas 1 y 3; columnas 1 y 4)∣1111∣=1⋅1−1⋅1=0A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \htmlClass{az}{1} & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \qquad \begin{array}{l} 1 \neq 0 \\[4pt] \text{(filas 1 y 2; columnas 1 y 4)}\quad \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right| = 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 0 \\[4pt] \text{(filas 1 y 3; columnas 1 y 4)}\quad \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right| = 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 0 \end{array}

  10. 10Resolvemos para a=1a = 1

    Sustituimos a=1a = 1 y resolvemos por Gauss:

    {x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}

  11. 11Ceros debajo del pivote (a=1a = 1)

    Tomamos como pivote el 11 de la fila 1, columna 1, y hacemos ceros debajo de él.

    F2→F2−F1F3→F3−F1(111100000000)\begin{array}{l} F_{2} \to F_{2} - F_{1} \\ F_{3} \to F_{3} - F_{1} \end{array} \qquad \left(\begin{array}{ccc|c} \htmlClass{ro}{1} & 1 & 1 & 1 \\ \htmlClass{ve}{0} & 0 & 0 & 0 \\ \htmlClass{ve}{0} & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

  12. 12Forma escalonada (a=1a = 1)

    La matriz ya está escalonada: cada pivote está más a la derecha que el de la fila de arriba, y debajo de cada pivote solo hay ceros. Este es el sistema equivalente (las filas de ceros dicen 0=00 = 0, que siempre se cumple, y las quitamos):

    (111100000000)  ⟶  {x+y+z=1\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \;\longrightarrow\; \begin{cases} x + y + z = 1 \end{cases}

  13. 13Incógnitas libres (a=1a = 1)

    Hay 3 incógnitas y solo una ecuación independiente, así que 2 incógnitas quedan libres: y=λy = \lambda, z=μz = \mu, con parámetros que pueden tomar cualquier valor real.

  14. 14Despejamos xx (a=1a = 1)

    En la ecuación de la fila 1 sustituimos lo que ya sabemos y despejamos xx.

    x+y+z=1  ⇒  x+(λ)+(μ)=1  ⇒  x=1−λ−μx + y + z = 1 \;\Rightarrow\; x + \left(\lambda\right) + \left(\mu\right) = 1 \;\Rightarrow\; x = 1 - \lambda - \mu

  15. 15Solución para a=1a = 1

    Juntamos los valores:

    x=1−λ−μ,y=λ,z=μ,λ,μ∈Rx = 1 - \lambda - \mu, \quad y = \lambda, \quad z = \mu, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

  16. 16Resumen de la discusión

    Juntamos todos los casos:

    a≠−2 y a≠1:SCD (solucioˊn uˊnica)x=−a+1a+2,  y=1a+2,  z=(a+1)2a+2a=−2:SI (sin solucioˊn)a=1:SCI (infinitas soluciones)x=1−λ−μ,y=λ,z=μ,λ,μ∈R\begin{array}{ll} a \neq -2 \text{ y } a \neq 1: & \text{SCD (solución única)} \\[4pt] & x = -\dfrac{a + 1}{a + 2},\; y = \dfrac{1}{a + 2},\; z = \dfrac{\left(a + 1\right)^{2}}{a + 2} \\[4pt] a = -2: & \text{SI (sin solución)} \\[4pt] a = 1: & \text{SCI (infinitas soluciones)} \\[4pt] & x = 1 - \lambda - \mu, \quad y = \lambda, \quad z = \mu, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{array}

Qué es y cuándo se usa

Discutir un sistema según un parámetro es decir, para cada valor de una letra (aa, kk, mm, λ\lambda…) que aparece en los coeficientes, si el sistema tiene una solución, infinitas o ninguna. Es uno de los ejercicios más repetidos de la PAU de Matemáticas II: «discute el sistema según los valores de mm y resuélvelo cuando sea compatible».

La herramienta clave es el teorema de Rouché-Frobenius, que compara el rango de la matriz de coeficientes AA con el de la ampliada A∗A^*. Con un parámetro, esos rangos cambian según su valor, así que hay que separar casos.

El método paso a paso

  1. Escribe AA y A∗A^* con el parámetro dentro.
  2. Si AA es cuadrada, calcula ∣A∣|A| en función del parámetro (Sarrus en los 3×33\times3) y factorízalo: Ruffini con los divisores del término independiente y la fórmula de segundo grado.
  3. Los valores que anulan ∣A∣|A| son los valores críticos. Para todos los demás, rg(A)=rg(A∗)=n\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=n: SCD. La solución se obtiene por Cramer y se simplifica.
  4. Sustituye cada valor crítico y calcula rg(A)\text{rg}(A) y rg(A∗)\text{rg}(A^*) con menores (o por Gauss). Clasifica con Rouché-Frobenius y, si es compatible, resuelve por Gauss.
  5. Resume la discusión en una tabla.

Si hay una ecuación más que incógnitas, el paso 2 se hace con ∣A∗∣|A^*|: cuando no se anula, el sistema es incompatible.

Un ejemplo completo

Discutamos según mm el sistema

{x+(m+1) y+z=mx+(m−1) z=1x+z=1\begin{cases} x+(m+1)\,y+z=m\\ x+(m-1)\,z=1\\ x+z=1 \end{cases}

Por Sarrus,

∣A∣=∣1m+1110m−1101∣=(m2−1)−(m+1)=m2−m−2=(m+1)(m−2),|A|=\begin{vmatrix}1&m+1&1\\1&0&m-1\\1&0&1\end{vmatrix}=(m^2-1)-(m+1)=m^2-m-2=(m+1)(m-2),

que se anula para m=−1m=-1 y m=2m=2.

Caso m≠−1m\neq-1 y m≠2m\neq2. ∣A∣≠0|A|\neq0, luego rg(A)=rg(A∗)=3\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3: SCD. Por Cramer, ∣Ax∣=m2−m−2|A_x|=m^2-m-2, ∣Ay∣=m2−3m+2=(m−1)(m−2)|A_y|=m^2-3m+2=(m-1)(m-2) y ∣Az∣=0|A_z|=0, así que

x=(m+1)(m−2)(m+1)(m−2)=1,y=(m−1)(m−2)(m+1)(m−2)=m−1m+1,z=0.x=\frac{(m+1)(m-2)}{(m+1)(m-2)}=1,\qquad y=\frac{(m-1)(m-2)}{(m+1)(m-2)}=\frac{m-1}{m+1},\qquad z=0.

Caso m=−1m=-1. La primera ecuación queda x+z=−1x+z=-1 y la tercera dice x+z=1x+z=1: es imposible. Con rangos: el menor ∣111−2∣=−3≠0\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq0 da rg(A)=2\text{rg}(A)=2, y al orlarlo con la columna de términos independientes sale ∣11−11−21111∣=−6≠0\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&-2&1\\1&1&1\end{vmatrix}=-6\neq0, así que rg(A∗)=3\text{rg}(A^*)=3: SI.

Caso m=2m=2. Las ecuaciones segunda y tercera son iguales (x+z=1x+z=1), y rg(A)=rg(A∗)=2<3\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2<3: SCI. De x+3y+z=2x+3y+z=2 y x+z=1x+z=1 sale 3y=13y=1; con z=λz=\lambda:

x=1−λ,y=13,z=λ,λ∈R.x=1-\lambda,\qquad y=\frac{1}{3},\qquad z=\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Valor de mmTipo de sistema
m≠−1m\neq-1 y m≠2m\neq2SCD: x=1, y=m−1m+1, z=0x=1,\ y=\frac{m-1}{m+1},\ z=0
m=−1m=-1SI
m=2m=2SCI: x=1−λ, y=13, z=λx=1-\lambda,\ y=\frac13,\ z=\lambda

Errores típicos

  • Dividir entre una expresión con el parámetro (por ejemplo, entre m−2m-2) sin haber apartado antes el caso en que vale cero.
  • Decir que es incompatible solo porque ∣A∣=0|A|=0. Con determinante nulo puede ser SCI o SI: hay que comparar los dos rangos.
  • Olvidar algún valor crítico, sobre todo las raíces dobles o la raíz 00 cuando se puede sacar factor común.
  • Sustituir mal el valor crítico en la matriz ampliada: conviene reescribir el sistema entero con el número.
  • No resolver los casos compatibles cuando el enunciado lo pide: en el SCI la solución lleva un parámetro nuevo (λ\lambda), distinto del de la discusión.

Practica: estudia el rango de una matriz con parámetro.

Preguntas frecuentes

¿Qué son los valores críticos del parámetro?

Son los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. Solo en ellos puede cambiar el tipo de sistema; para todos los demás, el sistema es compatible determinado.

¿Por qué basta con estudiar los valores que anulan |A|?

Si |A| ≠ 0, el rango de A es igual al número de incógnitas, y el de A* también (no puede ser mayor que el número de filas). Por Rouché-Frobenius el sistema es SCD. Las dudas solo aparecen cuando |A| = 0.

¿Qué hago si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas?

Si hay una ecuación más que incógnitas, la matriz ampliada A* es cuadrada. Cuando |A*| ≠ 0, rg(A*) es mayor que rg(A) y el sistema es incompatible; solo hay que estudiar aparte los valores que anulan |A*|.

¿Cómo se resuelve el sistema en función del parámetro?

En el caso compatible determinado se aplica la regla de Cramer con el parámetro dentro: cada incógnita es un cociente de determinantes. Después se simplifica la fracción, lo que se puede hacer porque para esos valores el denominador no es cero.

¿Y si el determinante no se anula nunca?

Entonces el sistema es compatible determinado para cualquier valor del parámetro, y la solución que da Cramer vale siempre.

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