Leonhard Euler: el matemático que siguió calculando ciego

Hacia las cinco de la tarde del 18 de septiembre de 1783, un hombre de setenta y seis años, casi ciego desde hacía mucho, sufrió una hemorragia cerebral. Ese día había dado clase a uno de sus nietos, había hecho cálculos con tiza sobre el movimiento de los globos aerostáticos y había discutido con dos colegas, Lexell y Fuss, sobre Urano, el planeta recién descubierto. Dijo «me muero» y murió hacia las once. Así lo cuenta MacTutor, y es difícil imaginar un final más fiel al personaje: Leonhard Euler trabajó hasta que se le acabó el tiempo.

Un chico de Basilea

Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea. Con catorce años entró en la universidad de su ciudad y en 1723 terminó el máster de filosofía. Su padre quería que fuera pastor, pero Johann Bernoulli, la gran autoridad matemática local, intervino: le recomendó libros difíciles para estudiar por su cuenta, le recibía los domingos por la tarde para resolverle dudas y acabó convenciendo al padre de que el destino del muchacho eran las matemáticas, no la teología.

En 1727 llegó a San Petersburgo, a la Academia. Ocupó la cátedra de física en 1730 y la de matemáticas en 1733, la que dejaba libre Daniel Bernoulli. En 1734 se casó con Katharina Gsell; de sus trece hijos solo cinco superaron la infancia. En 1741 aceptó la invitación de Federico II de Prusia y se mudó a Berlín, donde escribió unos 380 artículos en veinticinco años. En 1766 regresó a San Petersburgo, y allí se quedó para siempre.

Berlín dejó una anécdota documentada. Federico II le encargó, en 1748, las fuentes de Sans-Souci y, en enero de 1778, escribió a Voltaire que el molino había sido «ejecutado geométricamente» y no elevaba ni una gota de agua: «vanidad de la geometría». Según Michael Eckert, citado por la BnF, el informe de Euler era correcto y el rey no lo siguió para ahorrar.

Una obra que no cabe en una estantería

El índice que hizo Gustaf Eneström entre 1910 y 1913 enumera 866 publicaciones de Euler; como incluye cartas publicadas después de su muerte, las obras reales rondan las 850. Sus obras completas, la Opera Omnia, se planificaron en tres series que suman 72 volúmenes; con la serie IV, de correspondencia y manuscritos, la colección completa rondará los 81. Según recoge Futility Closet, el historiador Clifford Truesdell estimó que Euler escribió aproximadamente un tercio de toda la investigación en matemáticas y física matemática de las tres cuartas partes finales del siglo XVIII.

Ver menos, calcular más

Según Musielak, en 1738 Euler perdió la visión del ojo derecho. En una carta a Goldbach de agosto de 1740 escribió que la geografía le era fatal y que había perdido un ojo. Los historiadores no coinciden del todo: Calinger sostiene que los problemas de vista venían de antes y que el ojo izquierdo, el que se apagó mucho después, quedó ciego por una catarata y no por el esfuerzo.

Tras regresar a San Petersburgo en 1766, la vista se le apagó casi del todo. Las fuentes no se ponen de acuerdo en el año exacto. En 1771 un incendio destruyó su casa y una operación de cataratas le devolvió la vista solo durante unos días. Aun así, de esa etapa data casi la mitad de su obra. Dictaba a sus ayudantes, entre ellos Nicolaus Fuss, que llegó a comienzos de la década de 1770, y escribía con tiza en una pizarra para que copiaran los cálculos. Johann III Bernoulli contó en 1778 que Euler ya no reconocía las caras ni podía leer un texto ni escribir con pluma, pero que con la tiza escribía con claridad.

Basilea, 1650: una suma que nadie sabía hacer

Pietro Mengoli planteó en 1650 una pregunta de apariencia inocente: ¿cuánto vale la suma infinita

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\,?$$

Converge, pero lentísimo: con diez términos solo se llega a 1,5498. Jakob Bernoulli confesó su frustración y agradeció de antemano a quien lograra lo que a ellos se les había resistido.

Euler empezó por la vía numérica. Con su fórmula de sumación obtuvo muchos decimales: según Pengelley, veinte, en un trabajo enviado a la Academia el 13 de octubre de 1735 (el resumen de ese mismo artículo habla de catorce dígitos y de 1732, así que conviene tomar el detalle con pinzas). El valor es 1,644934… y entonces ocurrió algo notable: siete semanas y media después, según la misma fuente, resolvió el problema por otro camino. Escribió que, «de forma bastante inesperada», había encontrado una fórmula elegante para esa suma, que dependía de la cuadratura del círculo. Era $\pi^2/6$.

El argumento

Un polinomio se puede escribir de dos maneras: por sus coeficientes o como producto de factores, uno por cada raíz. Euler trató la función $\operatorname{sen} x / x$ como si fuera un polinomio «infinito». Sus raíces son $\pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$, de modo que propuso

$$\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$

Por otro lado, la serie de Taylor de la función es

$$\frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots$$

Ahora basta comparar el coeficiente de $x^2$. En el producto, el único modo de obtener $x^2$ es elegir el término $-x^2/(n^2\pi^2)$ de un factor y el $1$ de todos los demás, así que ese coeficiente es

$$-\frac{1}{\pi^2}\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots\right).$$

Igualándolo con $-1/6$ resulta

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$

El paso del producto infinito era audaz y no estaba justificado: trataba una función con infinitas raíces como si fuera un polinomio y daba por hecho que se podía factorizar igual, sin demostrarlo (hoy lo justifica el teorema de factorización de Weierstrass, de 1876). Euler lo contrastó con sus cálculos numéricos, y eso le dio confianza. Johann Bernoulli escribió que así se cumplía el deseo ardiente de su hermano y que ojalá siguiera vivo para verlo. El resultado se publicó en 1740 en De summis serierum reciprocarum, que también da la suma de los inversos de las potencias pares: $\sum 1/n^4=\pi^4/90$, por ejemplo.

La identidad más famosa que Euler no escribió

Se le atribuye a Euler la identidad $e^{i\pi}+1=0$, que une en una línea cinco constantes fundamentales. Sale al sustituir $x=\pi$ en la fórmula que lleva su nombre,

$$e^{ix} = \cos x + i\,\operatorname{sen} x,$$

con $\cos\pi=-1$ y $\operatorname{sen}\pi=0$. Pero el historiador Ed Sandifer señala que casi todo el mundo se la atribuye a Euler sin que esté claro por qué, y que él nunca la escribió en una forma parecida a esta. Lo prudente es decir que la fórmula general es de Euler y que la identidad en esa forma no se la debemos con seguridad a él.

Qué inventó y qué popularizó

Buena parte del «idioma» matemático que usamos hoy pasa por Euler, pero con matices que el diagrama resume.

La e sí es suya: la usó en un manuscrito de 1727-28 (publicado en 1862), en una carta a Goldbach de 1731 («aquel número cuyo logaritmo hiperbólico es 1») y en la Mechanica de 1736, la primera obra impresa en la que aparece. Leibniz había usado la letra b. La idea de que la «e» venga de «Euler» no tiene apoyo documental, y no debe confundirse con la constante de Euler-Mascheroni.

El π no lo inventó: William Jones lo usó en 1706, y antes Oughtred escribía π/δ para la razón entre circunferencia y diámetro. Euler lo usó desde 1729, al principio con otro valor (la razón entre circunferencia y radio, 6,28…); desde 1737 lo empleaba para 3,14… y, tras la Introductio, donde escribe «scribam π», se volvió universal.

La i para la raíz de $-1$ la introdujo en una memoria presentada en 1777 y publicada en 1794. Pero en 1748 escribía casi siempre $\sqrt{-1}$, el siguiente uso impreso es de Gauss en 1801, y fue él quien la generalizó; hacia 1821, en el Cours d’analyse de Cauchy, ya era la notación habitual. La notación f(x) también aparece en la Introductio, que hizo de la función el concepto central del análisis.

Una leyenda: la anécdota de Euler dejando mudo a Diderot con una «demostración» algebraica de la existencia de Dios. No hay registro de que ocurriera. Struik la calificó de mala anécdota histórica y la atribuyó a De Morgan. Algo parecido pasa con la célebre frase «Lean a Euler, lean a Euler, es el maestro de todos nosotros», atribuida a Laplace: la divulgó Guglielmo Libri en 1846 y Sandifer la considera de atribución dudosa.

Con una tiza

Diez términos y apenas se roza la respuesta. Euler no se conformó con acercarse: mezcló números, series y círculos, tomó un riesgo que no podía justificar y acertó. Años después seguiría haciéndolo a ciegas, con una tiza.

Practica: desarrolla funciones en series de Taylor y comprueba cómo el seno se parece a su polinomio.

Fuentes

• Leonhard Euler, MacTutor History of Mathematics Archive, Universidad de St Andrews.
• Jeff Miller, Earliest Uses of Symbols for Constants, MacTutor History of Mathematics Archive.
• David Pengelley, Dances between continuous and discrete: Euler’s summation formula, arXiv, 2019.
• E41: De summis serierum reciprocarum, Euler Archive.
• E101: Introductio in analysin infinitorum, Euler Archive.
• Dorian Musielak, Euler: Genius Blind Astronomer Mathematician, arXiv, 2014.
• Vanité de la géométrie ? Euler et les jets d’eau de Sans-Souci, Bibliothèque nationale de France.
• Euler and the Opera Omnia, EMS Newsletter, septiembre 2007.
• Ed Sandifer, e, π and i: Why is Euler in the Euler Identity?, How Euler Did Even More, Cambridge University Press, 2007.
• Ed Sandifer, Euler as a Teacher, Part 2, How Euler Did Even More, Cambridge University Press, 2010.
• Prolific, Futility Closet, 2024.
• Jeffrey Shallit, The Euler-Diderot Encounter, Universidad de Waterloo.