Carl Friedrich Gauss: de la suma de 1 a 100 al planeta Ceres

Casi todo el mundo conoce la historia: un maestro quiere tener a sus alumnos callados un buen rato, les manda sumar los números del 1 al 100 y un niño de siete años levanta la pizarra a los pocos segundos con la respuesta, 5050. El niño era Carl Friedrich Gauss. Es una historia redonda, quizá demasiado: cuando se tira del hilo, muchos detalles resultan ser añadidos posteriores, y lo asombroso de Gauss está en otra parte.

Lo que se sabe de la anécdota

Brian Hayes dedicó a esta historia un artículo entero, «Gauss’s Day of Reckoning» (2006). Reunió más de cien versiones en ocho idiomas y confiesa que sigue sin poder contestar a la pregunta básica: ¿ocurrió realmente así? Todas parecen derivar de una única fuente, un libro conmemorativo de Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtniss, publicado en 1856, un año después de la muerte de Gauss y en tono de homenaje. Según Sartorius, Gauss entró en la escuela pública de Brunswick tras cumplir siete años, en 1784, con un maestro llamado Büttner que repartía varazos. Pasó allí dos años sin incidentes y el episodio ocurrió al llegar a la clase de aritmética, hacia los nueve años y no a los siete. El niño resolvió el problema, dejó su pizarra sobre la mesa diciendo en dialecto «Ligget se» («ahí está») y, al final de la hora, la suya, con una sola cifra, era correcta mientras que otras muchas no.

Sartorius no dice que la tarea fuera sumar de 1 a 100: habla solo de una serie aritmética. El «1 a 100» lo añadió por su cuenta la traducción inglesa de Helen Worthington Gauss, y Hayes no sabe explicar esa interpolación. La serie del 1 al 100 aparece por primera vez, según Hayes, en 1938, en una biografía de Ludwig Bieberbach.

Otros adornos son igual de tardíos. En 1937, E. T. Bell popularizó en Men of Mathematics una versión novelada con una serie como $81297 + 81495 + 81693 + \dots + 100899$ (cien términos, diferencia 198), sin afirmar que fuera la real. Y la idea de que Büttner puso el problema para ganar tiempo es, según Hayes, una inferencia moderna que probablemente es errónea y, como poco, carece de respaldo.

El truco que no era solo de Gauss

Escribe la suma dos veces, la segunda al revés, y suma columna a columna:

Cada columna suma $n+1$ y hay $n$ columnas. Como hemos contado la serie dos veces,

$$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

Para $n = 100$ sale $50 \cdot 101 = 5050$. Lo notable no fue sumar cien números de cabeza, sino ver que no hacía falta. Tampoco la idea es exclusiva de Gauss: según Hayes, un problema esencialmente igual aparece en un manuscrito del siglo VIII atribuido a Alcuino de York.

Un polígono de diecisiete lados

El 30 de marzo de 1796, Gauss abrió su diario científico con la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Tenía 18 años, pues había nacido el 30 de abril de 1777. Desde Euclides se sabía construir el triángulo, el cuadrado, el pentágono, el de 15 lados y los que salen de ellos duplicando lados, y durante más de 2000 años nadie había añadido un polígono nuevo. Gauss añadió el de 17.

Construir el polígono equivale a construir el número $\cos(2\pi/17)$, y las ecuaciones de segundo grado son justo lo que regla y compás saben resolver. Sea $\zeta = e^{2\pi i/17}$. Las 16 raíces de $x^{17}=1$ distintas de 1 suman $-1$, y como $16 = 2^4$ se pueden repartir en dos grupos de 8, cada uno en dos de 4 y cada uno de estos en dos parejas. La suma de una pareja, $\zeta^k + \zeta^{-k}$, es $2\cos(2k\pi/17)$. Los dos primeros grupos, $\eta_1$ y $\eta_2$, cumplen

$$\eta_1 + \eta_2 = -1, \qquad \eta_1 \eta_2 = -4,$$

así que son las raíces de $x^2 + x - 4 = 0$, es decir, $\eta = \tfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$. Cada nivel siguiente exige otra ecuación de segundo grado: hacen falta tres en total, contando la primera, para llegar a $\cos(2\pi/17)$.

El resultado, con raíces cuadradas anidadas, es:

$$16\cos\frac{2\pi}{17} = -1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} + 2\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}$$

Calculado con ordenador, ambos lados valen $14{,}91955567\ldots$, es decir, $\cos(2\pi/17)=0{,}93247222940\ldots$ A. W. Zimmermann anunció el hallazgo el 1 de junio de 1796 en un periódico literario; según MathPages, aparentemente convenció a Gauss de dedicarse a las matemáticas y no a la filología.

El argumento da el criterio general: un polígono regular de $n \ge 3$ lados es construible si y solo si $n$ es el producto de una potencia de 2 por primos de Fermat distintos (quizá ninguno), de la forma $2^{2^k}+1$ (3, 5, 17, 257 y 65 537 son los conocidos). Gauss demostró que basta y afirmó, sin publicar la prueba, que también es necesario; Pierre Wantzel lo demostró en 1837, y por eso hoy se habla del teorema de Gauss-Wantzel. Así, 34, 51 y 60 se pueden construir, y 7 y 9 no.

Queda la leyenda de la lápida: Gauss habría querido un heptadecágono grabado en ella, pero el cantero eligió una estrella porque creía que nadie distinguiría un heptadecágono de un círculo. MathPages considera probablemente apócrifa la historia. Lo documentado es una estrella de 17 puntas grabada en la parte trasera de su monumento en Brunswick.

Disquisitiones Arithmeticae

La construcción acabó en la Sección VII de las Disquisitiones Arithmeticae, publicadas en el verano de 1801 con siete secciones, todas de teoría de números salvo la última. Introducen de forma sistemática las congruencias, esa aritmética del reloj, e incluyen la ley de reciprocidad cuadrática. La traducción inglesa de Arthur A. Clarke no llegó hasta 1966.

El planeta que se perdió

Con 23 años, Gauss tenía ya otro asunto entre manos. El 1 de enero de 1801 Giuseppe Piazzi descubrió Ceres y la siguió hasta el 11 de febrero; entonces la perdió por enfermedad, mal tiempo y la cercanía del Sol. Quedaban unas pocas posiciones sobre un arco minúsculo del cielo. Los datos se publicaron en septiembre en la Monatliche Correspondenz de Franz Xaver von Zach, secretario de la Policía Celeste (Himmelspolizei), el grupo de astrónomos alemanes que buscaba el planeta ausente. Zach publicó varias predicciones de su posición, entre ellas la de Gauss, que difería mucho de las demás y se basaba en un procedimiento propio. El 7 de diciembre de 1801 el propio Zach redescubrió Ceres casi exactamente donde Gauss había predicho. No la descubrió él, sino Piazzi: Gauss calculó dónde mirar.

Sobre el método, las fuentes no coinciden. MacTutor y Grcar dicen que Gauss usó mínimos cuadrados con Ceres, pero según Abdulle y Wanner sus primeros cálculos de la órbita, con tres observaciones y solo las leyes de Kepler, sin suponer una órbita circular ni parabólica, no los usaron. La exposición completa llegó en 1809, en la Theoria motus. Desde 2006 Ceres es un planeta enano, de unos 950 km de diámetro.

La eliminación que no inventó

Los mínimos cuadrados traen sistemas de ecuaciones lineales, y de ahí el nombre de la eliminación gaussiana. Con

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$$

se resta tres veces la primera ecuación a la segunda, queda $-2y = -4$, luego $y = 2$ y $x = 1$.

Pero Gauss no lo inventó. Joseph Grcar (2011) recuerda que el capítulo 8 de los Nueve capítulos sobre el arte matemático, texto chino anterior al año 200, comentado en el siglo III por Liu Hui, es la única exposición extensa anterior a finales del siglo XVII. En Europa reapareció de forma independiente en algebristas del siglo XVI (Peletier, Buteo, Gosselin, Rahn), y Newton la formuló como regla general en notas de álgebra de 1669 a 1684 que se publicaron en 1707 aunque él no quería que se tomaran como su investigación más reciente. Gauss lo llamó «eliminación común»; lo suyo fue una notación y un procedimiento propio para los mínimos cuadrados. El nombre «eliminación gaussiana» se generalizó solo después de la Segunda Guerra Mundial: para Grcar es un honorífico, no una atribución. Y los mínimos cuadrados los publicó antes Legendre (1805) que Gauss (1809), quien decía usarlos desde 1795.

Un cierre sin leyenda

Sin los adornos queda alguien más interesante que el niño de la pizarra: uno que a los 18 años añadió el primer polígono construible nuevo desde Euclides, que a los 24 dijo dónde buscar un planeta enano y que da nombre a un método que ya existía. Lo que importa es lo que enseña la pizarra: antes de calcular, buscar la simetría que acorta el camino.

Practica: resuelve un sistema de ecuaciones paso a paso o una ecuación de segundo grado.

Fuentes

• Brian Hayes, «Gauss’s Day of Reckoning», American Scientist 94(3), pp. 200-205, 2006.
• J. J. O’Connor y E. F. Robertson, «Carl Friedrich Gauss», MacTutor History of Mathematics.
• Joseph F. Grcar, «How Ordinary Elimination Became Gaussian Elimination», Historia Mathematica 38, 2011.
• A. Abdulle y G. Wanner, «200 years of least squares method», Elemente der Mathematik 57, 2002.
• Jack Murtagh, «Why This Great Mathematician Wanted a Heptadecagon on His Tombstone», Scientific American, 2024.
• «Constructing the Heptadecagon», MathPages.
• «Ceres: keeping well-guarded secrets for 215 years», NASA/JPL, 2016.
• «Ceres Facts», NASA Science.
• «Gauss’s diary, 30 March», MacTutor History of Mathematics.
• «Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae», MacTutor History of Mathematics.
• «Disquisitiones Arithmeticae», Wikipedia.
• «Constructible polygon», Wikipedia.