Historia del número pi: de Babilonia a 314 billones de cifras

Hay un número que cabe en un compás y, sin embargo, nadie ha logrado escribirlo entero. Basta con tomar una cuerda, rodear con ella una rueda y compararla con el ancho de la rueda: siempre sale algo un poco mayor que tres. Ese «algo» ha dado trabajo a escribas, geómetras, astrónomos y, hoy, a servidores informáticos. La historia de $\pi$ no es la de un número que se descubrió un día, sino la de una persecución en la que cada época fue cerrando un poco más el cerco.

Tres, y poco más

Una precisión previa: los egipcios y los babilonios no «conocían $\pi$». Tenían aproximaciones prácticas para calcular áreas y volúmenes, y muchas veces se conformaban con un simple 3. Una tablilla hallada en Susa, de entre los siglos XIX y XVII a. C., da $25/8 = 3{,}125$.

El caso egipcio es más fino. En el papiro Rhind, copiado por el escriba Ahmes hacia 1650 a. C., el problema 50 pide el área de un campo redondo de diámetro 9 khet. La receta: quitar al diámetro su novena parte, quedarse con 8 y elevarlo al cuadrado. Resultado, 64 setat. Si esa receta fuera la fórmula $\pi r^2$, equivaldría a

$$\pi \approx 4\left(\frac{8}{9}\right)^2 = \frac{256}{81} \approx 3{,}1605,$$

un error inferior al 1 %. Cómo se llegó a esa regla es objeto de hipótesis modernas, que son conjeturas.

Arquímedes y el arte de acorralar

Brisón de Heraclea ya había defendido que el círculo es mayor que cualquier polígono inscrito y menor que cualquier circunscrito, pero fue Arquímedes (hacia 287-212 a. C.) quien convirtió esa idea en un cálculo. En lugar de buscar el valor de $\pi$, buscó dos números entre los que $\pi$ tuviera que estar. La idea cabe en un dibujo: una circunferencia de radio 1 tiene semiperímetro $\pi$; un polígono inscrito, que queda por dentro, tiene menor perímetro; uno circunscrito, que la envuelve, lo tiene mayor.

Con hexágonos las cuentas son fáciles. El inscrito tiene seis lados de longitud 1, perímetro 6, semiperímetro 3. El circunscrito tiene lados de longitud $2/\sqrt{3}$, perímetro $4\sqrt{3}$ y semiperímetro $2\sqrt{3} \approx 3{,}464$. Ya sabemos que $3 < \pi < 3{,}464$. Ahora se duplica el número de lados una y otra vez. Con trigonometría moderna, el semiperímetro de un polígono regular de $n$ lados es $n\sin(\pi/n)$ si está inscrito y $n\tan(\pi/n)$ si está circunscrito, y la tabla del dibujo muestra cómo los dos valores se van aproximando por ambos lados.

Con polígonos de 96 lados, Arquímedes demostró en su Medida del círculo que

$$3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}, \qquad\text{es decir,}\qquad \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}.$$

Sus cotas son algo más holgadas que los valores de la tabla porque trabajaba con fracciones. Y aquí cae un mito: Arquímedes no calculó $\pi = 22/7$. Dio una cota superior y sabía que $\pi$ no era exactamente $22/7$.

China: de 3 a 355/113

El método de los polígonos viajó, o se reinventó, en China. Los Nueve capítulos solían usar 3. Liu Hui, en su comentario (hacia 263; la fecha no es segura), empleó polígonos inscritos, llegó a 3072 lados y obtuvo en torno a 3,1416 (MacTutor da 3,14159). En el siglo V, Zu Chongzhi (429-501) fue mucho más allá: demostró que $3{,}1415926 < \pi < 3{,}1415927$ y propuso la fracción

$$\frac{355}{113} = 3{,}14159292\ldots$$

correcta hasta el sexto decimal; el error es de unas tres diezmillonésimas. Hasta la forma es bonita: los tres primeros impares repetidos, 113 355, cortados por la mitad. Se cree que usó un polígono de 24 576 lados, pero cómo llegó a 355/113 se ignora, porque su libro se perdió.

Series: dejar de dibujar polígonos

Cada decimal por polígonos exige un trabajo desproporcionado; la salida eran las series infinitas. En la India, Madhava de Sangamagrama (hacia 1350-1425) halló hacia 1400 series equivalentes a las del arcotangente, el seno y el coseno, más de dos siglos antes de que aparecieran en Europa. De ahí sale

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$$

que hoy llamamos serie de Madhava-Gregory-Leibniz. Sola converge con una lentitud exasperante: con cinco términos, $4(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19)$ da 3,34. Madhava ideó términos de corrección que la aceleran mucho y, con otra serie suya, $\pi = \sqrt{12}\left(1 - \frac{1}{3\cdot 3} + \frac{1}{5\cdot 3^2} - \cdots\right)$, tomó 21 términos y obtuvo $\pi = 3{,}14159265359$, con once decimales. Sus escritos se han perdido; lo sabemos por lo que recogieron Nilakantha y Jyesthadeva (Yukti-Bhasa, hacia 1550).

Los polígonos tuvieron aún un último capítulo. Al-Kashi calculó 16 cifras con un polígono de $3\cdot 2^{28}$ lados; las fuentes lo sitúan en 1424 (Wikipedia) o hacia 1430 (MacTutor). Y Ludolph van Ceulen (1540-1610) se dedicó a ello media vida: 20 decimales en 1596, con un polígono de $15\cdot 2^{31}$ lados, y 33 en la obra póstuma que publicó su viuda en 1615. Las 35 cifras las publicó Snell en 1621, con polígonos de $2^{62}$ lados, y se grabaron en la lápida de Van Ceulen en la Pieterskerk de Leiden. La lápida original se perdió hacia 1800; en 2000 se colocó una réplica. En Alemania, $\pi$ se llamó «número ludolfino».

Una letra para el número

El número aún no tenía nombre propio. El matemático inglés Oughtred escribió en 1647 $\pi/\delta$ para la razón entre periferia y diámetro, pero la letra aún no designaba una constante. El primero en usar $\pi$ con su sentido moderno fue el galés William Jones, en su Synopsis palmariorum matheseos (1706), donde aparece algo como «3.14159, &c. = $\pi$». Euler no inventó el símbolo, pero lo popularizó: lo usó con su valor actual en cartas de 1737-1739 y en la Introductio in analysin infinitorum (1748) escribió que, para abreviar, usaría $\pi$ para ese número. Se suele suponer que la letra es la inicial de «periferia» o «perímetro», pero es una hipótesis.

Con Euler, además, $\pi$ salió de los círculos: en 1735 mostró que

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6},$$

y la circunferencia aparece en una suma que nada tiene de geométrico.

Lo que ningún cálculo podía decidir

Mientras se añadían decimales, quedaba una pregunta de fondo: ¿acabaría alguna vez el desarrollo? Lambert demostró que si $x$ es un racional no nulo, ni $e^x$ ni $\tan x$ son racionales. Como $\tan(\pi/4) = 1$, que sí es racional, $\pi/4$ no puede ser racional, y por tanto $\pi$ tampoco. Así, $\pi$ es irracional. MacTutor da 1761 para la demostración y 1768 para su presentación ante la Academia de Berlín.

Pero eso no basta para la cuadratura del círculo: construir con regla y compás un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. $\sqrt{2}$ también es irracional y se construye con regla y compás. Hacía falta algo más fuerte. En 1882, Lindemann demostró que $\pi$ es trascendente (no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes enteros), apoyándose en el trabajo de Hermite sobre $e$ de 1873 y en la identidad $e^{i\pi} = -1$. Con eso quedó demostrado que la cuadratura del círculo con regla y compás es imposible. Irracionalidad y trascendencia son resultados distintos: solo el segundo zanja la cuadratura.

Del lápiz al servidor

La escala cambió con el tiempo. En 1873-1874, Shanks calculó a mano 707 cifras, pero solo 527 eran correctas: Ferguson halló el error en la cifra 528 a mediados de los años cuarenta del siglo XX. En 1949, el ENIAC obtuvo 2037 cifras; en 1973 Guilloud y Bouyer superaron el millón, y en 1999 Kanada llegó a 206 158 430 000. Las series de Ramanujan (halladas hacia 1910) inspiraron la fórmula de los hermanos Chudnovsky, la que usan casi todos los récords modernos.

En 2022, Emma Haruka Iwao (Google Cloud) alcanzó los 100 billones de cifras. StorageReview llegó a 105 y 202 billones en 2024. En mayo de 2025, Linus Media Group y Kioxia anunciaron 300 billones, tras casi siete meses y medio de cálculo en un clúster de almacenamiento de 2,2 petabytes. Pocos meses después, StorageReview lo superó con 314 billones de cifras (314 000 000 000 000), anunciados el 11 de diciembre de 2025. El cálculo duró unos 110 días, entre julio y noviembre de 2025, en un único servidor con dos procesadores AMD EPYC 9965, 1,5 TB de memoria y 40 discos SSD, con y-cruncher y el algoritmo de Chudnovsky. Guinness lo reconoció en junio de 2026. A fecha de publicación de este artículo (15 de octubre de 2026), la tabla de récords de y-cruncher no recoge nada posterior.

Un cierre con lápida

Van Ceulen dedicó buena parte de su vida a 35 cifras que acabaron en su tumba. Un servidor actual produce 314 billones en unos 110 días. Y, sin embargo, ninguna de esas cifras añadió nada decisivo a lo que sabíamos de $\pi$ en 1882. Lo que de verdad cambió nuestra comprensión del número no fue contar más decimales, sino entender por qué no se acaban ni se repiten, y por qué ninguna regla y compás podrá jamás domarlos.

Practica: calcula series de Taylor paso a paso.

Fuentes

• MacTutor, Pi through the ages, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, A chronology of pi, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Egyptian papyri, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Archimedes of Syracuse, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Bryson, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Zu Chongzhi, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Madhava of Sangamagrama, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Ludolph van Ceulen, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Earliest uses of symbols for constants, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Johann Heinrich Lambert, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Leonhard Euler, Universidad de St Andrews.
• MacTutor, Ferdinand von Lindemann, Universidad de St Andrews.
• Approximations of π, Wikipedia.
• Number World, y-cruncher: Pi world records.
• StorageReview (2025), StorageReview sets new pi record: 314 trillion digits on a Dell PowerEdge R7725.
• Kioxia (2025), Kioxia and Linus Media Group set world record for pi calculation.
• Guinness World Records (2026), Pi-high computing achievement: technology companies calculate pi to 340 trillionth digit. El titular dice 340, pero el texto habla de 314 billones.