Emmy Noether y el teorema que une simetría y conservación

En mayo de 1916, mientras Europa se desangraba en una guerra, Hilbert le escribió a Einstein que había puesto a la señorita Noether a estudiar cierta cuestión incómoda de la relatividad general. Einstein contestó que bastaba con pedirle a ella que lo aclarase. Dos años después, esa señorita publicó un resultado que hoy sostiene buena parte de la física teórica: el vínculo general entre las simetrías de una teoría y las cantidades que conserva, energía incluida. Lo curioso es que ni siquiera tenía un sueldo.

Una mujer en la puerta de la universidad

Amalie Emmy Noether nació el 23 de marzo de 1882 en Erlangen, hija del matemático Max Noether. Tras un semestre como oyente en Gotinga, Erlangen empezó a admitir mujeres y ella se matriculó el 24 de octubre de 1904; se doctoró en 1907 con Paul Gordan, con la máxima calificación.

En 1915, Felix Klein y David Hilbert la invitaron a Gotinga. Necesitaban a alguien que dominase la teoría de invariantes, el arte de saber qué cosas no cambian cuando se cambia el punto de vista, porque la relatividad general de Einstein era justo eso: ecuaciones que debían valer igual en cualquier sistema de coordenadas.

Pero Gotinga no estaba preparada. La sección de matemáticas propuso su habilitación, el paso para ser docente, con apoyo unánime. Landau, uno de los consultados, escribió que el cerebro femenino no le parecía apto para las matemáticas, aunque la señorita Noether parecía una rara excepción. Aun así, el departamento histórico-filológico votó en contra el 19 de noviembre de 1915 por temor, según la cita que recoge Quigg, a que ver «un organismo femenino» distrajese a los estudiantes. No hubo rechazo formal: la administración simplemente no hizo nada.

Hilbert anunciaba los cursos con su propio nombre y añadía que los daba con la asistencia de la señorita Noether. En julio de 1917 el Ministerio prusiano dejó claro que no se nombraría a mujeres para puestos docentes en ninguna universidad. La habilitación llegó por fin en 1919, ya en la República de Weimar, con el propio artículo de 1918 como trabajo. En 1922 le dieron un título de profesora extraordinaria sin sueldo de la universidad; Hilbert logró conseguirle una pequeña asignación. Nunca fue catedrática en Alemania.

El teorema que une simetría y conservación

El problema que le encargaron nacía de un enigma: en la relatividad general la ley de conservación de la energía aparecía como una identidad y no parecía imponer nada. Noether lo resolvió y lo generalizó mucho más allá. El resultado salió en 1918 con el título Invariante Variationsprobleme: ella lo expuso en la Sociedad Matemática de Gotinga el 23 de julio y Klein lo presentó en la Sociedad Científica el 26.

Son dos teoremas, y el «teorema de Noether» popular es el primero. Dicho en una frase: cada simetría continua de una teoría descrita por un lagrangiano lleva asociada una cantidad que se conserva. Si las leyes no cambian al trasladar el experimento a otro lugar, se conserva el momento lineal. Si no cambian al hacerlo otro día, se conserva la energía. Si no cambian al girarlo, se conserva el momento angular.

Ya Lagrange y Jacobi habían visto que ciertas leyes de conservación iban unidas a invariancias concretas. Noether convirtió esa observación dispersa en un principio general.

Cómo funciona, con un par de líneas

Basta una partícula. Se describe el sistema con una función $L(q,\dot q)$, el lagrangiano, y el movimiento real cumple la ecuación de Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial L}{\partial q}.$$

Ahora supongamos que $L$ no depende de $q$, es decir, que desplazar la partícula no cambia las leyes. Entonces el lado derecho es cero y

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)=0,$$

de modo que $p=\partial L/\partial \dot q$ es constante. Para una partícula libre, $L=\tfrac12 m\dot q^{2}$ y $p=m\dot q$: la cantidad de movimiento de toda la vida aparece como consecuencia de una simetría.

El caso general es igual de corto. Supongamos que el cambio $q\to q+\varepsilon K(q)$ deja $L$ invariante, para cualquier $\varepsilon$ pequeño (el teorema admite también que $L$ cambie en una derivada total, y entonces la cantidad conservada lleva un término de corrección). Esto significa que

$$\frac{\partial L}{\partial q}K+\frac{\partial L}{\partial \dot q}K'\dot q=0.$$

Si derivamos ahora la cantidad $Q=pK$ respecto al tiempo y usamos Euler-Lagrange, resulta

$$\frac{dQ}{dt}=\dot p\,K+p\,K'\dot q=\frac{\partial L}{\partial q}K+\frac{\partial L}{\partial \dot q}K'\dot q=0.$$

La simetría era el cero de la derecha; la conservación es el cero de la izquierda. Para la energía hay que permitir que $L$ dependa también del tiempo, $L(q,\dot q,t)$. Un cálculo parecido con Euler-Lagrange da que la cantidad $E=\dot q\,\partial L/\partial\dot q-L$ cumple $dE/dt=-\partial L/\partial t$, así que si $L$ no depende explícitamente del tiempo, $E$ no cambia.

Qué hizo ella y qué no

Ojo con la leyenda: Noether no descubrió el vínculo entre simetría y conservación: había casos particulares desde Lagrange, Jacobi o Lie. Lo nuevo fue el principio general. Y el segundo, que trata de simetrías que dependen de funciones arbitrarias, como las de la relatividad general, era completamente nuevo. Según el físico Thibaut Damour, que recoge Kosmann-Schwarzbach, es incluso la parte más importante del artículo, y se convirtió en una herramienta esencial de las teorías gauge.

Antes de 1950 casi nadie reconocía su papel, e incluso después se citaba solo una parte del artículo. Ella tampoco volvió a la física: el resto de su vida trabajó en álgebra.

Los anillos que llevan su nombre

En álgebra transformó la disciplina. En 1921 publicó Idealtheorie in Ringbereichen, donde descompone ideales como intersección de ideales primarios en anillos con la llamada condición de cadena ascendente. Hoy se llaman noetherianos.

Un ideal es un subconjunto no vacío de un anillo, cerrado por sumas y por multiplicación por cualquier elemento del anillo. En los enteros $\mathbb Z$, los ideales son los múltiplos de un número: $(12)$ son todos los múltiplos de 12. Y $(12)\subset(6)$ porque 6 divide a 12. Una cadena ascendente como $(24)\subset(12)\subset(6)\subset(3)\subset(1)$ acaba parando, porque un número tiene solo un número finito de divisores. En cambio, en el anillo de polinomios con infinitas variables $x_1,x_2,\dots$ la cadena

$$(x_1)\subset(x_1,x_2)\subset(x_1,x_2,x_3)\subset\cdots$$

nunca se detiene. Un anillo es noetheriano cuando eso no puede pasar, lo que equivale a que todo ideal se genere con un número finito de elementos. Lo son los cuerpos, $\mathbb Z$ y los polinomios en un número finito de variables con coeficientes en un cuerpo o en $\mathbb Z$ (teorema de la base de Hilbert).

Se rodeó de alumnos, los «chicos de Noether» (Noetherknaben), y Van der Waerden, que estudió con ella en 1924, recogió gran parte de su trabajo en Moderne Algebra. Weyl contó en su discurso fúnebre que en Gotinga hablaban de ella, en broma pero con reverencia, en masculino: den Noether.

Exilio

En 1932 compartió el Premio Ackermann-Teubner con Emil Artin. Al año siguiente llegó el nazismo. En abril de 1933 fue apartada de Gotinga por ser judía, y en septiembre, según Quigg, un telegrama del ministerio anuló formalmente su permiso para enseñar y su paga. No tenía derecho a pensión. A Helmut Hasse le escribió el 10 de mayo que aquello era «mucho menos terrible para mí que para muchos otros»; tenía una pequeña herencia.

En octubre viajó a Estados Unidos con una cátedra visitante en el Bryn Mawr College. Allí la acogió Anna Pell Wheeler y desde febrero de 1934 daba además clases semanales en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. El 14 de abril de 1935 murió en Bryn Mawr, tras una operación, a los 53 años. Sus cenizas están bajo el paseo de los claustros del Bryn Mawr College, con una placa que dice «E·N 1882–1935».

La carta de Einstein

A primeros de mayo de 1935 el New York Times publicó una carta de Einstein titulada «The Late Emmy Noether», firmada en Princeton el 1 de mayo (MacTutor la fecha el 4 de mayo; el boletín de antiguas alumnas de Bryn Mawr la cita como del viernes 3). Decía que, a juicio de los matemáticos vivos más competentes, había sido «el genio matemático creativo más significativo producido hasta ahora desde que comenzó la educación superior de las mujeres». Añadía que, pese a los esfuerzos de Hilbert, nunca alcanzó en su país la posición académica que merecía, y que sus alumnos en Estados Unidos hicieron de sus últimos años «los más felices y quizá los más fecundos de toda su carrera».

Durante un tiempo se sostuvo que el texto lo había escrito en realidad Hermann Weyl. Peter Roquette llegó a defenderlo y luego se retractó: Reinhard Siegmund-Schultze encontró en el archivo de Einstein, en Jerusalén, el borrador alemán de su puño y letra. Esa última frase, eso sí, es de la traducción inglesa publicada (quizá obra de Abraham Flexner): el original no habla de toda su carrera, solo dice que la muerte la sorprendió «mitten in froher und fruchtbarer Arbeit», en pleno trabajo alegre y fecundo.

Una mujer a quien se negó un sueldo durante años escribió el teorema que liga la conservación de la energía con la simetría del tiempo. Cada vez que un físico dice que las leyes valen igual hoy que mañana, usa una idea suya.

Practica: derivadas paso a paso, para repetir con tus propias funciones el cálculo de $dQ/dt$ de arriba.

Fuentes

• Emmy Amalie Noether. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Noether_Emmy/
• Yvette Kosmann-Schwarzbach (2020). The Noether theorems in context. arXiv:2004.09254. https://arxiv.org/abs/2004.09254
• Chris Quigg (2019). Colloquium: A Century of Noether’s Theorem. arXiv:1902.01989. https://arxiv.org/abs/1902.01989
• Albert Einstein (1935). The Late Emmy Noether (transcripción). Agnes Scott College, Biographies of Women Mathematicians. https://mathwomen.agnesscott.org/women/EinsteinNYTLetter.pdf
• Hermann Weyl (1935). Hermann Weyl’s speech at Emmy Noether’s funeral. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Weyl_Noether/
• Peter Roquette (2007). Zu Emmy Noethers Geburtstag (einige neue Noetheriana). Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 15 (1), pp. 15-21. https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/Noetheriana-MDMV.pdf
• Peter Roquette (2008). Emmy Noether and Hermann Weyl, sección 8. Universidad de Heidelberg. https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/weyl+noether.pdf