Calcular la potencia de una matriz

Qué es la potencia de una matriz

Si $A$ es una matriz cuadrada, su potencia $A^n$ es el producto de $A$ por sí misma $n$ veces:

$$A^n=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{n\text{ veces}},\qquad A^0=I.$$

Aparece al estudiar sucesiones definidas por recurrencia, cadenas de transformaciones o procesos que se repiten, y es un clásico de los problemas de matrices de Bachillerato: “calcula $A^n$ y demuéstralo por inducción”.

Cómo se calcula

1. Calcula $A^2=A\cdot A$ con el producto de matrices.
2. Obtén $A^3=A^2\cdot A$, $A^4=A^3\cdot A$, etc.
3. Busca un patrón. Mira $A^2,A^3,A^4$: a menudo los elementos siguen una regla en $n$ o las potencias se repiten (por ejemplo, $A^k=I$ para algún $k$).
4. Si necesitas una fórmula general, demuéstrala por inducción.

Para exponentes grandes conviene elevar al cuadrado: $A^8=((A^2)^2)^2$ necesita tres productos en lugar de siete.

Ejemplo resuelto

Calculemos $A^4$ para $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$.

$$A^2=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&4\\0&4\end{pmatrix}$$

Ahora elevamos al cuadrado otra vez:

$$A^4=(A^2)^2=\begin{pmatrix}4&4\\0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&4\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&32\\0&16\end{pmatrix}.$$

Fórmula general. Escribimos $A=2I+N$ con $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, que cumple $N^2=0$. Como $2I$ conmuta con $N$, el binomio de Newton se corta y

$$A^n=2^nI+n\,2^{n-1}N=\begin{pmatrix}2^n&n\,2^{n-1}\\0&2^n\end{pmatrix}.$$

Con $n=4$ da $16$ y $4\cdot8=32$, como antes.

Propiedades

• $A^m\cdot A^n=A^{m+n}$ y $(A^m)^n=A^{mn}$.
• Si $D$ es diagonal, $D^n$ es diagonal con los elementos de la diagonal elevados a $n$.
• En general $(AB)^n\neq A^nB^n$; la igualdad vale si $AB=BA$.
• $(A^n)^t=(A^t)^n$.
• Si $A$ es invertible, $A^{-n}=(A^{-1})^n$.

Casos que se resuelven rápido

• Matriz diagonal: si $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$, entonces $D^n=\begin{pmatrix}2^n&0\\0&3^n\end{pmatrix}$.
• Matriz de la forma $\lambda I+N$ con $N$ nilpotente: el binomio de Newton se corta y la fórmula tiene pocos términos, como en el ejemplo anterior.
• Matrices periódicas: si para algún $k$ ocurre $A^k=I$, las potencias se repiten con periodo $k$ y basta calcular el resto de dividir el exponente entre $k$.
• Matrices con $A^2=A$ (idempotentes): entonces $A^n=A$ para todo $n\ge1$.

Consejos prácticos

• Calcula siempre al menos $A^2$, $A^3$ y $A^4$ antes de conjeturar una fórmula.
• Comprueba tu fórmula con $n=1$ y $n=2$; si falla, el patrón está mal.
• Para una demostración por inducción, verifica el caso base y multiplica $A^n\cdot A$ para obtener $A^{n+1}$.

Potencias y diagonalización

Cuando $A$ se puede escribir como $A=PDP^{-1}$ con $D$ diagonal, se cumple $A^n=PD^nP^{-1}$, y calcular $D^n$ es inmediato. Ese truco se estudia en cursos posteriores, pero ya merece la pena recordarlo: explica por qué las matrices diagonales son tan cómodas y por qué algunas sucesiones, como la de Fibonacci, se pueden estudiar con potencias de matrices $2\times2$.

Errores típicos

• Elevar cada elemento a $n$. Solo vale para matrices diagonales.
• Aplicar el cuadrado de un binomio $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ sin que $AB=BA$.
• No probar con varios exponentes y dar una fórmula basada en solo $A^2$.
• Calcular la fórmula sin demostrarla por inducción cuando el enunciado lo pide.
• Intentar elevar una matriz no cuadrada.

Practica: multiplica dos matrices paso a paso.