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Calculadora de geometría del espacio: rectas y planos paso a paso

Posición relativa, distancias, ángulos, proyecciones y simétricos, planos por tres puntos y rectas y planos que cumplen condiciones, paso a paso y con resultados exactos. Admite rectas en forma vectorial, paramétrica, continua o implícita.

Puntos: (1, -2, 3). Planos: 2x - y + z = 3 o paramétricos. Rectas: continua (x-1)/2 = (y+1)/3 = z, vectorial (x,y,z) = (1,0,2) + t(1,-1,3), paramétricas x = 1 + t, y = 2t, z = 3 o como dos planos x - y = 1, x + z = 0. Para el parámetro valen t, λ o μ.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Posición de dos rectas

r y s se cortan en (1, 2, 1)r \text{ y } s \text{ se cortan en } (1,\ 2,\ 1)

  1. 1Los datos

    De cada recta leemos un punto y un vector director.

    r: Pr=(1, 2, 1),u⃗r=(1, 1, 2)s: Ps=(3, 3, −1),u⃗s=(−2, −1, 2)\begin{gathered} r:\ P_{r} = (1,\ 2,\ 1),\quad \vec u_{r} = (1,\ 1,\ 2) \\ s:\ P_{s} = (3,\ 3,\ -1),\quad \vec u_{s} = (-2,\ -1,\ 2) \end{gathered}

  2. 2Rangos: el producto mixto

    Los vectores directores no son proporcionales, así que rg⁡(u⃗r,u⃗s)=2\operatorname{rg}(\vec u_{r}, \vec u_{s}) = 2: las rectas se cortan o se cruzan. Se cortan si PrPs→=(2, 1, −2)\overrightarrow{P_{r}P_{s}} = (2,\ 1,\ -2), u⃗r\vec u_{r} y u⃗s\vec u_{s} están en un mismo plano, es decir, si rg⁡(PrPs→,u⃗r,u⃗s)=2\operatorname{rg}(\overrightarrow{P_{r}P_{s}}, \vec u_{r}, \vec u_{s}) = 2: si su producto mixto (el determinante) es cero.

    [PrPs→, u⃗r, u⃗s]=∣21−2112−2−12∣=0[\overrightarrow{P_{r}P_{s}},\ \vec u_{r},\ \vec u_{s}] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0

  3. 3Se cortan

    El producto mixto es cero: rg⁡=2\operatorname{rg} = 2, las rectas están en un mismo plano y, como no son paralelas, se cortan.

  4. 4El punto de corte

    Igualamos las paramétricas de las dos rectas (con parámetros λ\lambda y μ\mu) y resolvemos el sistema: sale λ=0\lambda = 0 y μ=1\mu = 1. Sustituimos en rr.

    {1+λ=3−2μ2+λ=3−μ1+2λ=−1+2μ(1, 2, 1)+0 (1, 1, 2)=(1, 2, 1)\begin{gathered} \begin{cases} 1 + \lambda = 3 - 2\mu \\ 2 + \lambda = 3 - \mu \\ 1 + 2\lambda = -1 + 2\mu \end{cases} \\ (1,\ 2,\ 1) + 0\,(1,\ 1,\ 2) = (1,\ 2,\ 1) \end{gathered}

Las piezas: puntos, vectores, rectas y planos

Casi todos los problemas de geometría del espacio de la PAU se resuelven con tres ideas:

  • Una recta queda determinada por un punto PP y un vector director u⃗\vec u.
  • Un plano Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 tiene vector normal n⃗=(A,B,C)\vec n=(A,B,C), perpendicular a todo el plano.
  • El producto escalar dice si dos vectores son perpendiculares (u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0) y da ángulos; el producto vectorial da un vector perpendicular a otros dos, y su módulo, áreas; el producto mixto dice si tres vectores están en un mismo plano, y da volúmenes.

Un ejemplo completo

Calculemos el simétrico de P=(1,0,0)P=(1,0,0) respecto del plano π: 2x−y−z+4=0\pi:\ 2x-y-z+4=0.

  1. La recta perpendicular a π\pi por PP tiene la dirección de n⃗=(2,−1,−1)\vec n=(2,-1,-1): (x,y,z)=(1,0,0)+λ(2,−1,−1)(x,y,z)=(1,0,0)+\lambda(2,-1,-1).
  2. La cortamos con el plano: 2(1+2λ)−(−λ)−(−λ)+4=02(1+2\lambda)-(-\lambda)-(-\lambda)+4=0, es decir, 6λ+6=06\lambda+6=0 y λ=−1\lambda=-1. La proyección es M=(1,0,0)−(2,−1,−1)=(−1,1,1)M=(1,0,0)-(2,-1,-1)=(-1,1,1).
  3. MM es el punto medio de PP y su simétrico: P′=2M−P=(−2,2,2)−(1,0,0)=(−3,2,2)P'=2M-P=(-2,2,2)-(1,0,0)=(-3,2,2).

Errores típicos

  • Confundir el vector normal con un vector del plano: (A,B,C)(A,B,C) es perpendicular al plano, no está en él.
  • Olvidar el valor absoluto en distancias y ángulos.
  • Usar el coseno en el ángulo de recta y plano: con u⃗\vec u y n⃗\vec n sale el complementario; hay que usar el seno.
  • Decir que dos rectas son paralelas solo porque no se cortan: en el espacio también pueden cruzarse.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se estudia la posición relativa de dos rectas?

Si los vectores directores son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes (coinciden si un punto de una está en la otra). Si no lo son, se cortan o se cruzan: se cortan si el determinante formado por el vector que une un punto de cada recta y los dos vectores directores es cero, y se cruzan si no lo es.

¿Cómo se calcula la distancia de un punto a un plano?

Con el plano en la forma Ax + By + Cz + D = 0 y el punto (x0, y0, z0): d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²).

¿Cómo se calcula el simétrico de un punto respecto de un plano?

Se traza la recta perpendicular al plano por el punto (con la dirección del vector normal), se corta con el plano para obtener la proyección M, y como M es el punto medio entre P y su simétrico, P' = 2M − P.

¿Qué ángulo forman una recta y un plano?

El complementario del que forman el vector director de la recta y el normal del plano. Por eso se calcula con el seno: sen α = |u·n| / (|u|·|n|).

¿Puedo discutir la posición según un parámetro?

Sí: elige «Posición relativa según un parámetro» y escribe las ecuaciones con la letra (por ejemplo, 3x − my + z = 1). La calculadora busca los valores críticos (donde se anulan n·u, n₁ × n₂, u₁ × u₂ o el producto mixto), estudia cada caso y dice también para qué valores los objetos son perpendiculares. Con parámetro, escribe la recta en forma vectorial, paramétrica o continua (no como intersección de dos planos).

¿En qué forma tengo que escribir la recta?

En la que te den: continua, (x−1)/2 = (y+1)/3 = z; vectorial, (x,y,z) = (1,0,2) + λ(1,−1,3); paramétricas, x = 1 + λ, y = 2λ, z = 3 (el parámetro es λ, como en los exámenes de la PAU valenciana; si no tienes la λ a mano, vale escribir t); o como intersección de dos planos, x − y = 1, x + z = 0 (salvo en la discusión con parámetro). La calculadora saca de ella un punto y un vector director. Los decimales, con punto (3.5) o como fracción (7/2): la coma separa ecuaciones.

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