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El bit perdido
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Calcular la recta tangente a una curva en un punto

Calculadora de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f(x) en un punto x₀, paso a paso: punto de tangencia, derivada, pendiente f′(x₀) exacta y ecuación de la recta, con su gráfica.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Parábola en x₀ = 1

y=−x+1y = -x + 1

  1. 1Punto de tangencia

    La recta tangente pasa por el punto de la gráfica de abscisa x0=1x_0 = 1. Su ordenada es f(x0)f(x_0):

    f(1)=12−3⋅1+2=0f\left(1\right) = \htmlClass{ro}{1}^{2} - 3 \cdot \htmlClass{ro}{1} + 2 = 0

  2. 2Derivada de un polinomio

    Derivamos término a término con la regla de la potencia, (xn)′=n xn−1(x^n)' = n\,x^{n-1}. La derivada de una constante es 00.

    f′(x)=(x2)′+(−3x)′+(2)′=2x−3+0=2x−3f'(x) = \htmlClass{az}{(x^{2})'} + \htmlClass{ro}{(-3 x)'} + \htmlClass{ve}{(2)'} = \htmlClass{az}{2 x} - \htmlClass{ro}{3} + \htmlClass{ve}{0} = 2 x - 3

  3. 3Pendiente de la tangente

    La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en x0=1x_0 = 1:

    m=f′(1)=2⋅1−3=−1m = f'\left(1\right) = 2 \cdot \htmlClass{ro}{1} - 3 = -1

  4. 4Ecuación de la recta tangente

    Con el punto (1, 0)(1,\ 0) y la pendiente m=−1m = -1, la ecuación punto-pendiente y−f(x0)=f′(x0) (x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0) da la tangente. Despejando yy queda en forma explícita:

    y=−(x−1)y=−x+1\begin{gathered}y = -\left(x - 1\right) \\[4pt] y = -x + 1\end{gathered}

  5. 5Recta normal

    La recta normal es perpendicular a la tangente en el mismo punto: su pendiente es −1m=1-\frac{1}{m} = 1.

    y=x−1y = x - 1

Qué es la recta tangente

La recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=ax=a es la recta que mejor aproxima a la curva cerca de ese punto. Pasa por (a,f(a))(a,f(a)) y su pendiente es la derivada f′(a)f'(a):

y−f(a)=f′(a) (x−a).y-f(a)=f'(a)\,(x-a).

La recta normal es la perpendicular a la tangente por el mismo punto. Si f′(a)≠0f'(a)\neq 0, su pendiente es −1f′(a)-\dfrac{1}{f'(a)}:

y−f(a)=−1f′(a) (x−a).y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}\,(x-a).

El método paso a paso

  1. Calcula la ordenada del punto, f(a)f(a).
  2. Deriva ff y calcula la pendiente m=f′(a)m=f'(a).
  3. Sustituye en y−f(a)=m(x−a)y-f(a)=m(x-a) y despeja yy si quieres la forma explícita.
  4. Para la normal, usa la pendiente −1/m-1/m (si m=0m=0, la normal es la recta vertical x=ax=a).

Enunciados típicos de la PAU:

  • «Recta tangente en el punto de abscisa x=ax=a»: método anterior.
  • «Recta tangente paralela a y=mx+ny=mx+n»: se resuelve f′(x)=mf'(x)=m y salen las abscisas; después se hace una tangente en cada una.
  • «Recta tangente perpendicular a y=mx+ny=mx+n»: se resuelve f′(x)=−1/mf'(x)=-1/m.
  • «Recta tangente horizontal»: se resuelve f′(x)=0f'(x)=0.

Un ejemplo completo

Sea f(x)=x3−3x+1f(x)=x^3-3x+1.

a) Tangente y normal en x=2x=2. Calculamos f(2)=8−6+1=3f(2)=8-6+1=3. Como f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3, la pendiente es f′(2)=9f'(2)=9. La tangente es

y−3=9(x−2) ⟹ y=9x−15.y-3=9(x-2)\ \Longrightarrow\ y=9x-15.

La normal tiene pendiente −19-\frac{1}{9}:

y−3=−19(x−2) ⟹ y=−x9+299.y-3=-\frac{1}{9}(x-2)\ \Longrightarrow\ y=-\frac{x}{9}+\frac{29}{9}.

b) Tangentes paralelas a y=24x+5y=24x+5. Resolvemos f′(x)=24f'(x)=24:

3x2−3=24 ⟹ x2=9 ⟹ x=±3.3x^2-3=24\ \Longrightarrow\ x^2=9\ \Longrightarrow\ x=\pm 3.

Los puntos son (3,19)(3,19) y (−3,−17)(-3,-17), y las tangentes

y=24x−53yy=24x+55.y=24x-53\qquad\text{y}\qquad y=24x+55.

c) Tangentes horizontales. 3x2−3=03x^2-3=0 da x=±1x=\pm1, con puntos (1,−1)(1,-1) y (−1,3)(-1,3).

Errores típicos

  • Usar f(a)f(a) como pendiente o, al revés, olvidar calcular f(a)f(a) y poner la derivada en su lugar.
  • Sustituir en ff en vez de en f′f' al calcular la pendiente.
  • Olvidar que paralela significa misma pendiente y perpendicular, pendiente opuesta e inversa.
  • Dar solo una solución cuando la ecuación f′(x)=mf'(x)=m tiene varias; cada una produce una recta distinta.
  • Dejar la ecuación sin simplificar: es más claro dar y=9x−15y=9x-15 que y−3=9(x−2)y-3=9(x-2), aunque ambas son correctas.

Practica: estudia la función completa: dominio, asíntotas, extremos y curvatura.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a una función en un punto?

Es y - f(a) = f'(a)(x - a), donde a es la abscisa del punto, f(a) su ordenada y f'(a) la pendiente, que se obtiene derivando.

¿Cómo se calcula la recta normal?

La recta normal pasa por el mismo punto que la tangente pero es perpendicular a ella, así que su pendiente es -1/f'(a). Su ecuación es y - f(a) = -1/f'(a) (x - a).

¿Cómo se halla la recta tangente paralela a una recta dada?

Se iguala la derivada a la pendiente de la recta dada, f'(x) = m, y se resuelve para encontrar la abscisa o abscisas del punto. Después se escribe la tangente en cada uno.

¿Qué pasa si f'(a) = 0?

La recta tangente es horizontal, de ecuación y = f(a). Es lo que ocurre en los posibles máximos y mínimos.

¿Y si la función no es derivable en el punto?

Entonces no existe recta tangente con pendiente finita en ese punto, como ocurre en un pico o en una tangente vertical. Hay que comprobar antes que la función es derivable.

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