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El bit perdido
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Máximo y mínimo absolutos en un intervalo (problemas de optimización)

Calcula el máximo y el mínimo absolutos de una función en un intervalo paso a paso: derivada, puntos críticos, segunda derivada, valores en los extremos y límites si el intervalo es abierto o infinito. La parte de cálculo de cualquier problema de optimización.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Intervalo cerrado

max⁡f=18 en x=3min⁡f=−2 en x=−2 y x=1\begin{gathered} \max f = 18 \text{ en } x = 3 \\ \min f = -2 \text{ en } x = -2 \text{ y } x = 1 \end{gathered}

  1. 1El planteamiento

    Buscamos el máximo y el mínimo absolutos de ff en el intervalo. Pueden estar en un punto del interior donde f′(x)=0f'(x) = 0, en uno donde ff no es derivable, o en los extremos del intervalo; si un extremo es abierto o infinito, hay que mirar el límite. Como ff es continua en un intervalo cerrado y acotado, por el teorema de Weierstrass alcanza seguro su máximo y su mínimo absolutos: basta con comparar los valores en esos puntos.

    f(x)=x3−3x,x∈[−2, 3]f(x) = x^{3} - 3 x,\qquad x \in \left[-2,\ 3\right]

  2. 2La derivada

    Derivamos.

    f′(x)=3x2−3f'(x) = 3 x^{2} - 3

  3. 3Los puntos críticos

    Resolvemos f′(x)=0f'(x) = 0. Dentro del intervalo están x=−1 y x=1x = -1 \text{ y } x = 1.

    f′(x)=0 ⇒ x=−1, x=1f'(x) = 0 \ \Rightarrow\ x = -1,\ x = 1

  4. 4La segunda derivada

    El signo de f′′f'' en cada punto crítico dice si es un mínimo (f′′>0f'' > 0) o un máximo (f′′<0f'' < 0) relativo.

    f′′(x)=6xf′′(−1)=−6<0 ⇒ maˊximo relativof′′(1)=6>0 ⇒ mıˊnimo relativo\begin{gathered} f''(x) = 6 x \\ f''(-1) = -6 < 0 \ \Rightarrow\ \text{máximo relativo} \\ f''(1) = 6 > 0 \ \Rightarrow\ \text{mínimo relativo} \end{gathered}

  5. 5Los valores

    Calculamos ff en los candidatos del interior y en los extremos cerrados.

    f(−2)=−2f(−1)=2f(1)=−2f(3)=18\begin{gathered} f(-2) = -2 \\ f(-1) = 2 \\ f(1) = -2 \\ f(3) = 18 \end{gathered}

  6. 6La conclusión

    El máximo absoluto es 1818 y se alcanza en x=3x = 3. El mínimo absoluto es −2-2 y se alcanza en x=−2 y x=1x = -2 \text{ y } x = 1. En un problema de optimización, comprueba además que la solución tiene sentido en el enunciado (longitudes positivas, cantidades enteras…).

Máximos y mínimos absolutos

El máximo absoluto de ff en un intervalo es el mayor valor que toma ff allí (y el mínimo absoluto, el menor). Si ff es continua en un intervalo cerrado [a,b][a,b], los dos existen siempre (teorema de Weierstrass) y están:

  • en un punto crítico del interior, donde f′(x)=0f'(x)=0 o donde ff no es derivable, o
  • en uno de los extremos aa o bb.

Basta con calcular ff en todos esos puntos y quedarse con el mayor y el menor valor.

Un ejemplo completo: el problema de la valla

Queremos vallar un huerto rectangular de 400 m2400\ \text{m}^2 junto a un muro (que no hace falta vallar) usando la menor cantidad de valla.

Si xx es el lado perpendicular al muro, el otro lado mide 400x\frac{400}{x} y la valla mide

L(x)=2x+400x,x∈(0,+∞).L(x)=2x+\frac{400}{x},\qquad x\in(0,+\infty).

Derivamos: L′(x)=2−400x2=0⇒x2=200⇒x=102≈14,14L'(x)=2-\frac{400}{x^2}=0\Rightarrow x^2=200\Rightarrow x=10\sqrt2\approx14{,}14 m (la solución negativa no sirve).

Como L′′(x)=800x3>0L''(x)=\frac{800}{x^3}>0, es un mínimo. Además L→+∞L\to+\infty en los dos extremos del intervalo, así que este mínimo relativo es también el mínimo absoluto: L(102)=402≈56,57L(10\sqrt2)=40\sqrt2\approx56{,}57 m de valla, con lados de 10210\sqrt2 y 20220\sqrt2 m.

Errores típicos

  • Olvidar los extremos del intervalo cuando es cerrado: el máximo puede estar en un borde.
  • Quedarse con el punto crítico sin comprobar que es un máximo o un mínimo.
  • No restringir la variable: una longitud no puede ser negativa ni cero.
  • Contestar con el valor de xx cuando preguntan por el valor de ff, o al revés.

Preguntas frecuentes

¿Dónde puede estar el máximo absoluto de una función en un intervalo?

En un punto crítico del interior (donde f'(x) = 0 o donde la derivada no existe) o en uno de los extremos del intervalo. Por eso se calcula f en todos esos puntos y se comparan los valores.

¿Para qué sirve la segunda derivada?

Para saber si un punto crítico es un máximo (f'' < 0) o un mínimo (f'' > 0) relativo; si f'' = 0, el criterio no decide y hay que estudiar el signo de f' a los dos lados. En los problemas de optimización de la PAU suele pedirse para justificar que la solución es de verdad un máximo o un mínimo.

¿Y si el intervalo es abierto o infinito?

Entonces los extremos abiertos o infinitos no son candidatos (un extremo cerrado, como el 0 de [0, +∞), sí lo es): se calcula el límite de f al acercarse a ellos. Si f se dispara a +∞, no hay máximo; si se acerca a un valor sin alcanzarlo y ese valor es mejor que los de los candidatos, tampoco.

¿Cómo escribo el intervalo?

Con corchetes para los extremos cerrados y paréntesis para los abiertos, y inf para el infinito: [0, 10], (0, inf), [0, 5), (-inf, 2].

¿Cómo se resuelve un problema de optimización?

1) Elige la variable y escribe la magnitud que hay que optimizar en función de ella (usando la condición del enunciado para quitar las demás). 2) Mira qué valores tiene sentido que tome (el intervalo). 3) Busca el máximo o el mínimo en ese intervalo, que es lo que hace esta calculadora. 4) Contesta a lo que te preguntan, con unidades.

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