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El bit perdido
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Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

Estudia la continuidad y la derivabilidad de una función a trozos en el punto de cambio y calcula los parámetros: límites laterales, derivadas laterales y sistema.

Escribe x^2 para x², sen(x), cos x, tg x, ln x (neperiano), log x (decimal), sqrt(x) o √x, e^x, pi y |x|. Puedes escribir 2x sin el signo de multiplicar.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto paso a paso

Dos parámetros

es continua si a=b+1es derivable si a=1,  b=0\text{es continua si } a = b + 1 \qquad \text{es derivable si } a = 1,\; b = 0

  1. 1La función

    Cada trozo es una función elemental; lo que hay que estudiar es el punto de cambio, x=1x = 1. Los parámetros son aa y bb.

    f(x)={ax2+1si x<1b+2xsi x≥1f(x) = \begin{cases} a x^{2} + 1 & \text{si } x < 1 \\ b + 2 x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

  2. 2Límites laterales y valor en el punto

    Para que ff sea continua en x=1x = 1, los dos límites laterales tienen que existir, ser finitos y coincidir con f(1)f(1).

    lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−(ax2+1)=a+1lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+(b+2x)=b+2f(1)=b+2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left(a x^{2} + 1\right) = a + 1 \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(b + 2 x\right) = b + 2 \qquad f(1) = b + 2

  3. 3Condición de continuidad

    Igualando, a+1=b+2a + 1 = b + 2, que se cumple si a=b+1a = b + 1. Así ff es continua en x=1x = 1.

  4. 4Derivadas laterales

    Si ff es continua en x=1x = 1, sus derivadas laterales son los límites de la derivada de cada trozo. Para que sea derivable, tienen que ser finitas e iguales (y antes, ff tiene que ser continua).

    f′(x)={2axsi x<12si x>1f′(1−)=2af′(1+)=2f'(x) = \begin{cases} 2 a x & \text{si } x < 1 \\ 2 & \text{si } x > 1 \end{cases} \qquad f'(1^-) = 2 a \qquad f'(1^+) = 2

  5. 5Condición de derivabilidad

    Hay que imponer a la vez la continuidad y 2a=22 a = 2. Se cumple si a=1,  b=0a = 1,\; b = 0: entonces ff es derivable en x=1x = 1.

    {a−b−1=02a−2=0\begin{cases} a - b - 1 = 0 \\ 2 a - 2 = 0 \end{cases}

  6. 6Conclusión

    En x=1x = 1, ff es continua si a = b + 1; y es derivable si a = 1, b = 0.

Cómo se estudia una función a trozos

En una función definida a trozos, cada trozo suele ser una función elemental, continua y derivable en su intervalo. Lo que hay que estudiar es el punto de cambio x=cx = c.

Continuidad. ff es continua en cc si los dos límites laterales existen, son finitos y coinciden con f(c)f(c):

lim⁡x→c−f(x)=lim⁡x→c+f(x)=f(c).\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c).

Derivabilidad. Si ff es continua en cc, es derivable si las derivadas laterales son finitas e iguales: f′(c−)=f′(c+)f'(c^-) = f'(c^+).

Ejemplo

Sea f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + a x + b si x<1x < 1 y f(x)=3xf(x) = 3x si x≥1x \ge 1. ¿Para qué valores de aa y bb es derivable en x=1x = 1?

  1. Continuidad. Los límites laterales en 11 son 1+a+b1 + a + b y 33, y f(1)=3f(1) = 3. Es continua si 1+a+b=31 + a + b = 3, es decir, a+b=2a + b = 2.
  2. Derivabilidad. Las derivadas de los trozos son 2x+a2x + a y 33, así que f′(1−)=2+af'(1^-) = 2 + a y f′(1+)=3f'(1^+) = 3. Coinciden si a=1a = 1.
  3. Las dos condiciones juntas: a=1a = 1 y b=2−a=1b = 2 - a = 1.

Con a=1a = 1 y b=1b = 1, ff es continua y derivable en x=1x = 1 (y f′(1)=3f'(1) = 3).

Un caso sin solución. Con f(x)=x2+axf(x) = x^2 + a x si x<1x < 1 y f(x)=bx+3f(x) = b x + 3 si x≥1x \ge 1, la continuidad da a=b+2a = b + 2 y la derivabilidad, 2+a=b2 + a = b. Juntas dan 2+b+2=b2 + b + 2 = b, que no tiene solución: ff no es derivable en x=1x = 1 para ningún valor de aa y bb.

Preguntas frecuentes

¿Por qué hay que comprobar antes la continuidad?

Porque una función derivable en un punto es siempre continua en él. Si f no es continua en x = c, no puede ser derivable, aunque los límites de las derivadas de los dos trozos coincidan.

¿Por qué las derivadas laterales se calculan como límites de las derivadas de cada trozo?

Si f es continua en c y cada trozo es derivable cerca de c, el límite de f'(x) por cada lado, si existe, coincide con la derivada lateral (es una consecuencia del teorema del valor medio). Es el método habitual en la PAU.

¿Qué pasa si hay dos parámetros?

La continuidad da una ecuación y la derivabilidad otra. Con las dos juntas se forma un sistema que suele tener una única solución (o ninguna, como en el segundo ejemplo). Si solo se pide continuidad, queda una relación entre los parámetros, como a = b + 1.

¿Cómo escribo la función?

Escribe cada trozo por separado, el punto de cambio c y en qué trozo va x = c. Los parámetros son letras sueltas: a, b, k, m… La calculadora admite dos trozos; si la función tiene tres, estudia cada punto de cambio por separado.

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